Les équations (122) peuvent s'écrire

cos* X w v ' sin (fl — <o)

Si Ton imagine que Ton ait substitué dans Tune ou l'autre la

valeur de déduite de (125), on obtiendra ^- en fonction

v ' cos* A.

de o). La section opérée par un plan méridien quelconque

o) = const. sera donc toujours une courbe représentée par

l'équation

^pr- = const. ,

cos* A.

ou, entre les coordonnées polaires (p, X)

p — l__ = const. , cos A.

c'est-à-dire un cercle passant par le pôle.

Et en effet ce point appartenant a toutes les sphères, fait nécessairement partie de la sphérale et de toutes les caractéristiques. On obtient donc leurs divers plans en menant par le pôle des plans normaux aux tangentes de la directrice (plane ou gauche). Lorsque celle ci se trouve comprise dans un plan, ce sont précisément les sections circulaires méridiennes que le calcul vient de mettre en évidence.

On reconnaît dès lors qu'une sphérale équiradiale est engendrée par un cercle variable qui passe incessamment par le pôle, tandis que son centre parcourt la podaire de la directrice (plane ou gauche) relative a ce point.

Revenant au cas où celle-ci est comprise dans le plan de l'équateur, nous voyons que la trace équatoriale de la sphérale équiradiale est une courbe homothétique de cette podaire, obtenue en doublant tous ses rayons vecteurs. En effet OM| (fig. 19) étant la trace du plan de la caractéristique, le point M'i situé sur le grand cercle de la sphère variable, appartient à la sphérale, ainsi qu'a sa trace équatoriale.

C'est d'ailleurs ce qu'exprime, dans le cas actuel, fa formule (125), d'après le triangle OMMi.

Constatons donc que les sphérales équiradiales pour une directrice (M) sont l'équivalent de nos anciennes équiradiales à front méridien générateur (N° 10), mais pour une directrice (Mi) toute différente, qui est la podaire de la première.

136. Prenous comme exemple de directrice la spirale sinusoïde d'ordre tout a fait quelconque n

r n = cos nO ,

F = cos n nO , F' =* — cos n nO sin nO .

La relation (125) donne alors

. / cos n9\ , , , x A

a) = — arc cot I — -; x I = fa + 1 ) ,

\ sinnfl/ v

Fig. 19

et en reportant cette valeur dans (124) H

cos tt

2cos*X équation de la sphérale équiradiale.

ferT*)'

Elle a pour trace équatoriale .(IM> (l^-fe.).

c'est-à-dire une autre spirale sinusoïde d'ordre — r—r- ; résultat

conforme au théorème précédent (N° 136), d'après ce que l'on sait de la podaire de ces courbes ( , ).

137- Nous pouvons également effectuer cette recherche pour les coniques rapportées à leur foyer

a(\ -f *cosfl) " On obtient alors comme équation de la sphérale entre R, o>, X

-j-em en employant l'abréviation suivante

2£ 4 cos 4 X 1+* 2

wi = -

ea*R* 2e

138. Envisageons encore comme exemple la spirale algébrique d'ordre quelconque n positif ou négatif, entier, fractionnaire ou incommensurable

( l ) On peut signaler les directrices suivantes, qui fournissent, comme traces équatoriales, d'autres spirales sinusoïdes également simples :

Cercle « » 1 , — r-= = s cardioïde, n-j-1 2 '

Parabole — ^, ~ 1 droite,

Hyperbole — 2., -(-2 lemniscate.

La- formule (124) devient

2 cos* X \f 6*» + n»0*»-* */«* + n*

c'eSt-à-dire ' ■'•

La relation (125) donne de son coté

■ , ;J e>=»0,+ arctangf — .— ~. .

Elle est nettement insoluble par rapport a 6. Mais la précédente, qui est algébrique, pourra ((ans certains- cas fournir, pour ce paramètre, une valeur qu'il suffira de substituer ici, de manière a obtenir définitivement l'équation de la sphérale.

Cette circonstance, si l'on se borne aux fonctions élémentaires (*), se présentera pour dix-sept directrices diverses, qui ramènent aux quatre premiers degrés la résolvante (129), envisagée par rapport a l'inconnue elle-même ou à certaines puissances auxiliaires de 0. On se trouve conduit au quatrième degré par les valeurs suivantes de l'exposant n

(') Si Ton fait n = 4, la résolvante (129) prend d'elle même par rapport à l'inconnue auxiliaire

0*cos\

la forme réduite de Bring et de Jerrard, qui a été employée par Hebmite p^our, ramener aux .fonctions elliptiques la résolution de l'équation du cinquième degré. On obtient de telles équations pour les douze valeurs suivantes de n ; v u> ['-'/'

au troisième avec

au second pour

enfin au premier degré avec

Je me contenterai, parmi ces vingt-neuf problèmes, d'envisager le plus simple, qui est celui de la spirale hyperbolique

La relation (125) devient alors (130) a> = + arccot«

Quant a la résolvante (124) elle donne 4 cos 4 X

(itQ >-\/-w

ce qui fournit pour l'équation de la sphérale

/„««v * /4cos 4 X . . . /4cos 4 X (132) co-y/ — Si 1+arccoty/— ^ 1.

(!) Conchoïde de la spirale de Galilée (Gombs Teixeira, Tratado de las curvas ^spéciales notables, p. 3G7).

(*) Spirale de Fermât (ibidem, p. 371).

( 3 ) Spirale d'ÂRCHiMÈDE.

(*) Zrôotw de Côtes (ibidem, p. 380).

(>) Cercle.

§ xxn

Sphèro-nautile

139. Arrivons enfin à l'application principale que nous avons en vue dans ce travail, c'est-à-dire a l'équation du sphéro -nautile, pour lequel la directrice est la spirale logarithmique; le module vectoriel b redevenant quelconque.

La formule (121) donne alors

A* 2AÔ cos 2 b + H [* a6 sin (0 - o>) - A** 6 cos (9 — a>)] = ,

(133) é? A " cos a cos 2 b = R [cos (6 — a) cos « — sin (0 — a) sin «]-.

v ' COS tf cos z

Si Ton substitue cette valeur dans la relation (HO), R disparait, et il reste

cos 2 (0 — co + ff) 9 cos (0 — o) + a) cos (0 — o>) 1 •

cos 2 a cos 2 6 cos # cos A 2 cos 2 X

cos(0— a)+a)[cos(6— o)-f-a)--2cos(6— o>)cosa]H ^ — =0.

tu l \ /a \ cos 2 a cos 2 *

cos (0 — a) -h a) cos (0 — 03 — a) = r-r ,

v ' v • cos 2 X