Î/A \ 2 • S /A \ ' 2 COS 2 «COS

cos 1 (0 — a)) cos 35 a — sin 2 (0 — o>) sin 3 a « «-^ .

x ' x ' cos*X

On déduit de la successivement

cos a

(135) sin (0 — o)) = r-i/cos 2 X— cos 2 £,

N ' ' cos A.

,* v - i/sm 2 acos 2 À.+cos , acos 2 £

COS (0 — 0)) = r .

v ' cos A.

Remettant ces valeurs dans (133), on obtient R

(136) e Ali = fi ^(v/sin*0cos*X-j-cos*acos*£

' cos* b cos A. v

— sin a y/ cos* "A. — cos* b) .

on sous une forme équivalente

(137) = tansr « Log - „ r ( t/sin* a cos* X + cos* a cos* b

— y/si n* a cos* X — sin* a cos* b) .

Comme d'ailleurs la relation (135) nous donne en même temps

(138) = a) -f arc sin (^^. /cos*X-cosTA , v ' \ cos A. /

si nous égalons l'une a l'autre ces deux valeurs de l'azimut 0, nous obtenons enfin l'équation du sphéro-nautile entre R, <o, X, et les constantes a y b. Mais il est inutile d'effectuer cette transcription.

140. En faisant dans l'équation en question X = 0, nous obtiendrons celle de la trace équatoriale

cj + arc sin (cos a .vin b) =3 tang a Log t ( y/sin 3 a + cos* a cos* b + sin a sin b) .

Elle est formée de deux spirales logarithmiques égales a la directrice, mais déviées. On ne doit en effet, parmi les quatre combinaisons que fournissent les doubles signes des deux radicaux, prendre que les deux valeurs positives, sous peine de rendre le logarithme imaginaire.

Remarquons d'ailleurs que la valeur (138) ne commence a être réelle que pour des latitudes inférieures a X = £. Telle est donc l'équation de la cônhélice de contact entre le sphéro-nautile et le cône qui lui est circonscrit a partir du pôle.