Les expressions (136), (137), (138), équivalentes entre
elles, présentent une grande importance. Elles déterminent en effet, pour chaque point (R, u), X) de la surface, l'azimut du centre de la sphère qui l'y touche, ou encore (N° 113) le pied de sa normale. La première de ces formules fournit cet azimut en fonction de R, X; la seconde en <o, X.
La dernière (138) sera la plus utile. Si on la laisse sous sa précédente forme (135), elle exprime le sinus dé l'appoint — a> qu'il faut ajouter à la longitude o de ce point N pour obtenir l'azimut correspondant du centre M ; et rien ne s'oppose a ce qu'on le construise a l'aide de la règle et du compas.
142. Les formules générales (117 à 121) donnent pour le sphéro-na utile
/- rt ^ , A* AÔ sin 2 £ . . ,
(139) A = — = r cos a sin 2 b ,
(140) k - * a6 sin b \J K —~^^- = r sin b \/\ - cos* a sin* b ,
sin 2 £ A i/T-f-A* cos a
cos a
L'angle a restant constant sur la spirale logarithmique, ces quatre éléments sont proportionnels au rayon vecteur.
Remarquons encore la valeur de l'angle c, que forment les rayons sphériques normaux avec le plan de la caractéristique, ou les génératrices du cône circonscrit avec la tangente a la directrice
(143) sinc = — = — : — r- = sin £ cos « .
x ' <p rsmù
Cet angle demeure donc constant, et le sphéro-nautile se trouve ainsi défini au moyen de trois éléments angulaires a, b, c, dont deux seulement restent arbitraires, le troisième leur étant relié par cette condition (143). Il convient pourtant de remarquer que deux d'entre eux, a et <?, figurent d'eux mêmes sous leur aspect angulaire dans la conformation de la surface, tandis que b n'a été introduit qu'indirectement pour la plus grande facilité des calculs, en représentant sous la forme trigonomé-
trique sîn b le coefficient vectoriel B. Au contraire les deux angles a et c caractérisent directement la manière dont le sphéro-nautile tourne en spirale ou s'épanouit en forme de cor.
143. Le lieu géométrique des centres M* des caractéristiques nous est fourni par les équations générales (86) (87)
n 2 = r 2 (l +cos 2 «sin*i — 2cos 2 « sin 2 £) ,
ce qui peut s'écrire
(114) ri = r v/sin* a + cos 2 a cos 4 b ,
et d'autre part
sin a cos a cos 2 b (145) sin(0 — di)
v/sin* a ~f- cos* a cos 4 £ On en déduit:
. fa , . / sinacosacos'fc \~|
A 0i + arc sin ( — )
n — t/sin 2 a + cos 2 a cos* b . * L V sin* a + cos* a cos* hJA .
Ce lieu est d'après cela une spirale logarithmique identique a la directrice et déviée de l'angle
arc sin
(sin a cos a cos 2 b \ --===== — )
ysin 2 a + cos* a cos* b)
-|- -x- * an g a Log (sin 2 a -f- cos 2 a cos* £).
Telle sera donc la nouvelle directrice du nautile a front générateur circulaire oblique identique au sphéro-nuutile. L'inclinaison 2 (88) du front reste constante, avec la valeur
% . / sin a cos a cos 2 b \
i = -jr — - a — arc sin ( — — — — J .
* \ ysin 2 a + cos 2 a cos 4 b)
Quant au nouveau rapport vectoriel du nautiloïde envisagé sous cet aspect, c'est celui du rayon k de la caractéristique (140) au rayon vecteur ri de la nouvelle directrice (144), à savoir
sin
I 1 — cos 2 a sin* £ y sin* a -\- cos 2 a cos 4 b "
A l'aide de ces éléments, on pourra, suivant la remarque générale du N° 113, appliquer au sphéro-nautile l'ensemble des recherches relatives au volume, au centre de gravité, et au moment d'inertie. Il suffira pour cela (N° 89) d'employer le multiplicateur
sin (*'+
cos 4 b — sin* a ':os* a cos* b + sin* a
cos* a cos 4 b + sin 2 a *
144. Il en sera de même de la théorie du plan tangent (§ VI). Toutefois, pour cette question, le nouveau mode de génération à titre de sphérale, nous fournit en outre des ressources spéciales et plus avantageuses.
Commençons par rappeler succinctement les anciens éléments de construction (fig. 20). Si l'on envisage la caractéristique rabattue suivant le pointillé DND\ nous avons en t' la trace équatoriale de sa tangente N/'. D'autre part, en élevant Ot perpendiculaire au rayon vecteur horizontal Oft* et faisant avec lui l'angle On/ = «, nous obtenons en t la trace de la tangente a la cônhélice du point N. Celle du plan tangent est donc tt\
Mais il est également tangent au cône de révolution circonscrit suivant la même caractéristique. Il contient donc en totalité la génératrice NM^ de ce dernier; et sa trace it 1 doit passer par le sommet Ma. Nous savons d'ailleurs que ce dernier se trouve situé sur la tangente MMj de la directrice. Il peut se construire en coupant cette droite par un segment capable de l'angle 2c décrit sur DD'-, ou encore en menant Tune des perpendiculaires DMî, D'Ms aux rayons sphériques MD, MD'; ou enfin en tirant les droites DMa, D'Ms sous l'angle a par rapport aux rayons vecteurs OD, 01)', des spirales-traces de la surface (*).
Fig. 20
(*) Cette remarque permettra au besoin de reconstituer le pôle du Bpnèro-nautile dont on donnerait une caractéristique DD', avec son cône circonscrit DM 2 D'.
145. On voit ainsi que la trace du plan tangent peut se construire en joignant Mit y ou Mj^, ou ttf, selon la manière dont seront donnés ces trois points. Mais nous en obtenons également d'autres constructions en le considérant comme tangent à la sphère mobile, c'est-à-dire perpendiculaire à son rayon NM, qui est projeté sur l'équateur en nM. La trace du plan devant dès lors être perpendiculaire a cette projection, il suffira d'abaisser de M«, de t, ou de t f cette normale sur nM.
Ltemarquons en outre que la figure une fois établie pour un point N fait dorénavant partie de l'édifice géométrique, et peut servir tout le long de la cônhélice de ce point en restant semblable a elle-même, et ne changeant de forme que de Tune à l'autre de ces courbes.
Au lieu de ce mouvement en cônhélice, faisons parcourir à N sa caractéristique de D a D' en passant par le point maximum No. Le plan tangent sera d'abord vertical, suivant la trace DM*. Il s'incline ensuite sur l'équateur, en même temps que sa trace tourne autour de Mg, depuis MjD jusqu'à la position moyenne MaT parallèle à DD'. En effet, pour le point N , la trace t' de la tangente de la génératrice s'éloigne à l'infini sur DD. Le minimum de pente du plan tangent se trouve réalisé à ce moment; et il est égal à N0M2M1 dans le plan vertical MgM*. Cette inclinaison a donc pour tangente trigonomé trique le rapport de NoMi a MaMi, c'est à-dire de k a H, ou de h à k y ou enfin tang c. Le minimum est donc égal à c. Au delà du point N , une marche inverse se produit; le plan tangent se redresse progressivement, en pivotant autour de M*, jusqu'à une position verticale suivant M^D'.
146. Les formules du sphéro-na utile se simplifient beaucoup lorsqu'il est équiradiaK Mais au lieu de supposer dans chacune
d'elles b = -^r , il sera plus court de repartir des relations (124),
(125) qui deviennent pour la spirale logarithmique
l cos
R é? A ° sin a
d'où, en éliminant
2 sin a cos 2 X équation très simple du sphéro-nautile équiradial.
Il a pour trace
n n . A[oj-f — — a)
R = 2 sin # . * \ 2 / >
c'est-à-dire une spirale logarithmique unique [au lieu de deux comme à l'ordinaire (N° 139)], identique à la directrice, et déviée de l'angle
y — a -f tang a Log (2 sin a) .
La seconde s'est évanouie et réduite au pôle, où se trouve en effet constamment l'une des deux retombées de la vôule en plein cintre formée par la demi-caractéristique, tandis que la seconde décrit la courbe (147).
Comme le point le plus haut N de ce plein cintre se projette au milieu du diamètre de cette circonférence, qui forme le rayon vecteur de la trace (147), le lieu des projections de ces points maxima des caractéristiques sera la spirale
(148) R = sina.X u,+ T- a ),
égale a la directrice et déviée de l'angle
— — a + tang a . Log sin a .
La ligne de faîte qui lui correspond sur la surface, en passant par tous les points maxima eux-mêmes, est donc une cônhélice. Son angle constant de latitude est fourni par la combinaison des équations (148) et (146), qui donne
2 cos* Xo = 1 , cos Xo = —i— , Xo = -7- •
§ XXIII Cônes circonscrits
des cônes
Cherchons le lieu géométrique des sommets (N° 106) es circonscrits à une sphérale quelconque, ainsi qu'a
chacune des sphères variables, le long des diverses caractéristiques.
La trace du plan de cette dernière est MiD (fig.. 21), normale a la tangente MMi de la directrice. Si nous élevons la perpendiculaire DM* sur le rayon MD de la sphère variable, il déterminera en Mg le sommet, dont nous pouvons calculer les coordonnées
On a d'abord dans le triangle MOM 3
OM 2 a = OJVf + MM«r
Fig 21 - 2ÔM . MM* cos OMM 2 ,
r 2 2 = r 2 + (H + A) 2 -2r(H + A)cosfl,
ou d'après la formule (116;
rg* = r 2 -f-
<pV 2
<p /2 sin 2 a
cpr
cp' sm a
cos a ,
(149) ri =< -^ )f F* (cp 2 + <p 2 ) + cp 2 F' 2 — 2cpcp'F ,
Il vient en second lieu
sin MOM 2
sin OMM 2
