?±! cos tt nO

• — = — sin n0 a cos B nu a , rj = ; s — .

r% sin 7i0'a

On obtient par exemple pour la parabole (n — — — ], une

droite; pour le cercle (n= 1), une cissoïde de Dioclbs; pour la ligne droite (n = — 1), cette droite elle même. Envisageons encore les spirales algébriques

dérivée

est

— nO-

-*- i . Nous

écrivons

donc

Le lieu des sommets est d'après cela une autre spirale algébrique d'un ordre supérieur d'une unité à celui de la proposée.

Par exemple, la spirale hyperbolique (n = — 1) donne, comme lieu des sommets, un cercle (w = 0).

Soit enfin l'équation des coniques rapportées à leur foyer

La dérivée est — j— sin 0, nous écrivons donc en changeant le signe

Le lieu cherché est d'après cela

r% cos = —

c'est-à-dire la directrice relative au foyer considéré.

§ XXIV Directrice en coordonnées intrinsèques

151. Reprenons ici l'usage des coordonnées intrinsèques, afin de pouvoir envisager les courbes qui déjà nons ont été accessibles par cette voie (§ XVI), et en déterminer les surfaces sphérales équiradiales, dans lesquelles le rayon sphérique reste, comme ci-dessus, constamment égal au rayon vecteur r de cette ligne par rapport a un certain pôle, encore bien qu'elle soit représentée par son équation naturelle, entre son rayon de courbure p et son angle de contingence

En faisant passer par ce pôle deux axes rectangulaires, nous aurons

dx = ds cos s , dy = ds sin £ ;

x = I p cos e dz , y= I p sin e de .

JQ JO

La sphère qui a son centre au point (x, y) et comme rayon r, sera représentée, avec les coordonnées courantes X, Y, Z par l'équation

(x— I FcossrfeJ +(y— ! Vsinerfej +Z»

= M Vcose</ej +(l Fsine</e) , ou en développant

X« + Y»+Z l -2(x I Vcossa's + Y I Fsiner/ej-0 . Si l'on passe aux coordonnées mixtes, on obtient celte formule

remarquable par sa grande simplicité et sa complète généralité.

Pour avoir l'enveloppe de cette sphère, prenons la dérivée par rapport au paramètre e. Elle sera simplement

F (e) cos (e — o>) = .

Mais F ne saurait être annulé d'une manière permanente. Il nous faut donc poser

cos (e — o)) = 0, e — 0) = -^-.

Ce résultat est d'ailleurs conforme a ce qu'indique la figure 19 par son triangle OMiA.

L'élimination est maintenant possible une fois pour toutes; et si nous reportons cette valeur de e dans la formule (153), nous obtenons, pour la sphérale équi radiale d'une directrice quelconque, l'équation générale

< 154 > .-2wr=X F(£)îcos(E - a>Ws -

Le problème se trouve ainsi ramené aux quadratures.

152* Considérons comme exemple la cycloïde rapportée a son sommet

p = cos s .

Nous aurons successivement

;r-r- = 4 I cos e (cos s cos o) -f sin e sin <o) Jz

cos* À. Jo V J

= I [cos (o ( l + cos 2e) -f- sin <o sin 2e] d (2e) Jo

«= cos a) (2e + sin 2e) — sin <o cos 2e L Je=°

■■ [cos io (2io + %) — cos a) sin 2e + sin io cos 2a>] + sin oo =* (2(0 + x) cos oo — sin (2a> — o>) + sin oo ,

et enfin

st-( -+ t)

COSO).

cos* ■ - -

On peut conduire un calcul semblable pour obtenir l'équation da la sphérale, absolument différente de celle-ci, qui serait déduite de la même directrice, rapportée non plus a son sommet mais a son point de rebroussement, sous la forme

p = sin s .

153* Envisageons maintenant l'épicycloïde rapportée, soit a son sommet, soit a son point de rebroussement, par Tune ou l'autre des équations

p = cos qz , p *= sin qe .

Il suffira pour effectuer l'intégration (154) de décomposer en somme de sinus ou de cosinus le produit de facteurs. Il faut toutefois excepter de cette analyse l'hypothèse y= 1, car l'intégration conduit à diviser par q — 1. C'est pour cette raison que nous avons considéré directement ce cas, qui est celui de la cycloïde.