On a pour la chainette rapportée à son sommet

r cos 3 s

/cos (s — (o) , sina) . /s , x\ —2 — -</e= V cos a) Log tang ( — + --) , cos*e cos s ° \2 4/

= — I -f- cos a) Log l — cot — j .

2 cos 4 X

Il vient pour la tractrice rapportée a son point de rebroussement

p = tang s , / tang s cos (e— - co) r/e = — cos (s — <o) + sin co Log tang [ — - -f- — ) ,

"K 5T~ = cos w + Sln "> Log ( — COt — ) .

2 cos* A. ° \ 2/

On a encore pour la chainette d'égale résistance rapportée a son sommet

* cose

cos (e — o>)

coss

(h — s cos a) — sin o> Log cos e ,

- ït-= (w+ir) cos (o — sin (o Loff (— sin eu) .

• 2 cos* A. \ 2 / ° v '

Ces diverses équations ne fournissent de valeurs réelles que pour les longitudes négatives; ce qui est d'ailleurs conforme à l'allure de ces trois directrices.

155. Envisageons enfin la développante de cercle d'ordre q, rapportée, ainsi que toutes les précédentes, à un même point de la circonférence. Elle a pour équation relative à ce point de rebroussement

L'intégration (154) de la fonction efcos(e — <o) s'effectuera par parties, en réduisant successivement la valeur de l'exposant, qui est essentiellement positif. Il est inutile de développer ici ce procédé classique.

Je m'attacherai de préférence a déduire de cette même courbe une autre sphérale équiradiale absolument différente, en rapportant les rayons vecteurs au centre du cercle, et non plus au point de rebroussement. La configuration générale de la surface en acquièrera d'ailleurs plus d'harmonie.

Appelons a cet effet a l'azimut du point du cercle générateur qui (par une série de tangentes successivement rectangulaires les unes sur les autres, pour passer de chaque développante à la suivante), nous conduit au point caractérisé par s sur la <f développante. Les coordonnées rectangulaires de ce dernier peuvent s'exprimer de la manière suivante

L'équation entre X, Y, Z de la sphère variable (après qu'on l'a, comme au N° 151, développée et débarrassée de la somme des

séries 2 qui se trouvent dans les deux membres), se réduit à

X* + Y* + Z3-2x££cos («-*f)

-2YS^--sin| o *i

ou en coordonnées mixtes

2^sû == rirL coswc ° 8 r" 4 ï) +s,nws,n (— *t) J =!lr C08 ( a - w -4)-

Prenons maintenant la dérivée par rapport au paramètre angulaire a

Or le terme en a*" -1 de la seconde somme a pour argument

a — a> — (A — 2) -5-. Cet angle diffère de 1c avec celui du terme

correspondant de la première série. Leurs cosinus sont donc égaux et de signes contraires, et ces deux expressions se détruisent mutuellement. 11 ne subsiste par conséquent, de tout l'ensemble, que l'unique terme en a? de la seconde somme, car il n'a pas de correspondant. La formule se réduit dès lors a

cos[^«-a>-(9-l)|-J = 0, c'est-à-dire

L'équation de la sphérale équiradiale devient par la substitu-

tion de cette valeur dans celle de la sphère

îcosU

coi(j-4)j.

Rapportons la, pour plus de simplicité, à un premier-méridien que nous aurons fait tourner, dans le sens négatif, de q quadrants. Si nous appelons Q cette nouvelle longitude

il viendra simplement

R AU* , .x«

2 cos* \ kl Vï '2

La trace équatoriale (X = 0) de cette sphérale sera donc

___ cos ( 9 .£).

Cette équation présente une forme très simple; car le facteur cos (q — k) — a toujours pour valeur l'unité avec des signe» alternatifs.

Tous les termes -j-r

seront donc de même parité, de signes alternés, et sans coefficients étrangers.

Si l'on considère en particulier (fig.

22) la développante de cercle proprement dite {q— 1), la trace équatoriale dévient

Figr22

c'est-a-dire une spirale d'ÀRCHiMÈDE.