XXV

Lignes de courbure en coordonnées rectangulaires

156- Si l'on envisage les normales communes à une sphérale et à la sphère qui s'y raccorde suivant une caractéristique, elles forment un cône de révolution, dont le sommet occupe le point décrivant de la directrice. Ces droites se rencontrent donc consécutivement, et par suite la caractéristique est Tune des deux lignes de courbure en chacun de ses points.

La seconde doit être normale a celle-ci. Nous possédons par conséquent, dans le plan tangent, qui nous est connu, les deux directions des sections principales.

La tangente de la seconde ligne de courbure n'est autre que la génératrice NMj du cône de révolution circonscrit suivant la caractéristique. Cette droite se trouve en effet dans le plan tangent, et elle est normale au cercle de base du cône.

Connaissant ainsi la direction 71M2 de la tangente à la projection équatoriale de la ligne de courbure, nous pouvons entreprendre d'en former l'équation différentielle. Je traiterai cette question successivement en coordonnées rectangulaires, et dans le système polaire.

157. La sphérale nous est fournie par les deux équations (83), (84). Cette dernière représente le plan de la caractéristique qui correspond a l'abscisse a du point décrivant M. Si donc nous menons par l'origine un plan qui lui soit parallèle, il aura pour équation