PREMIERE PARTIE Surfaces à front générateur

§1 Préliminaires

1, Nous emploierons conçu rrcmmcnt les coordonnées rectangulaires: abscisse x, ordonnée y, altitude z; et les coordonnées mixtes: rayon vecteur horizontal^)

l{=)/x*+f, longitude

m — arc tanff — , D x

comptée a partir du premier méridien ZOX, autour de l'axe zénithal OZ, enfin la latitude

k = arc lang — ,

rapportée au plan de Vèquatmr XOY.

On a d'ailleurs inversement

fçsR cos o>, y — R sin o>, x = R tang X.

(*) Nous désignerons par p le rayon vecteur de l'espace p = ^/jc* -|^ y* -|- z 2 .

2. L'objet essentiel de ces recherches concerne les surfaces h front générateur, que nous constituerons de la manière suivante. * Nous nous donnons dans le plan de l'équateur (fig. 1) une courbe directrice

Je désigne par r, 8 les coordonnées polaires planes de son point décrivant M,

afin de prévenir tou- n %

te confusion avec celles R, o>, i des points N de la surface.

Par le point décrivant je mène, perpendiculairement à î'équateur, un plan qui prendra le nom de front générateur.

Il est indiqué par sa trace FF', autour de laquelle nous le ra- Fig. 1

battons pour montrer, en trait pointillé, la courbe génératrice FNF'. Nous la représenterons par l'équation

entre son abscisse £ = Mn et son ordonnée * = N», rapportées au point décrivant comme origine, a l'aide des axes MF dans l'équateur et MZ' parallèle a Taxe zénithal.

La condition fondamentale qui dominera toute cette théorie est que, pendant le mouvement du plan de front la génératrice reste semblable a elle même par rapport au point décrivant. Le rapport de similitude, arbitraire comme tous les autres éléments de la question, sera représenté par la fonction

L'équation de cette génératrice, à chaque, instant de sa déformation progressive, prendra donc la forme

#) / L?wJ'

Enfin un quatrième élément détermine à tout instant la position de la trace du front par rapport au rayon vecteur de la directrice, a savoir l'angle de ces deux droites

La surface à front générateur se trouve ainsi constituée à l'aide de quatre éléments fonctionnels arbitraires, que nous représenterons d'une manière abrégée par F, f, 9, ^, en y sousenlendant la variable, lors qu'elle sera suffisamment désignée.

Etablissons d'abord deux formules fondamentales.

3« La première présente ce caractère spécial de rester indépendante fie la fonction f\ c'est à-dire de la génératrice. C'est L'équation de la trace FF' du plan de front, sur laquelle en effet se projette indifféremment tout ce que renferme ce plan.

Nous avons dans le triangle OMra

On OM • R r

sinOMn sin.OuM ' sinî sin [t — (0 — a>)] et enfin

(2) R sin (iu — 8 + i) = r sin i = F sin ty . 4. Ce triangle nous donne également

Un = ÔM* - 2ÔM . Ûîn~. cos OMn + ÎVbi 2 , c'est-à-dire (1)

(3) R« s= P + îFtf (^ï*.) CO. + + 9»/" ( RtangX ) .

Pour obtenir, entre R T m, A l'équation de la surface à front générateur, il suffira d'éliminer entre les relations (2) et (3) le paramètre 8, lorsque seront spécifiés dans chaque cas les symboles f, /; y r ^

5» La question posée dans ces termes comporte une grande généralité.

En ce qui concerne en premier lieu le front, on peut supposer: 1° qu'il dépende uniquement de la directrice; par exemple en faisant avec sa tangente un angle constant (lequel sera

droit pour les surfaces a front normal); 2° ou qu'il ne dépende au contraire que du rayon vecteur; en exécutant par exemple autour de M une rotation proportionnelle à celle que ce rayon effectue autour du pôle. Si le coefficient de cette proportionnalité est —1, le front reste parallèle à lui même ( 4 ); pour la valeur + 1, il fait avec ce rayon un angle constant (en particulier un angle nul dans les surfaces à front méridien); si Pon a* le coefficient +2, le front et Taxe polaire constituent à chaque instant avec le rayon vecteur un triangle isocèle, etc.; 3° ou enfin le front dépend à la fois du rayon et de la directrice; par exemple en se disposant suivant Tune des bissectrices de leur angle, ou en tournant sur lui-même proportionnellement à la déviation qu'éprouve cette droite, etc.

Quant à la génératrice, son choix reste illimité. L'on peut penser a la vérité que le cercle fournira pour les arts de* la décoration la meilleure ressource; soit qu'il ait son centre au point décrivant ou qu'il constitue un excentrique; en lui attribuant une position déterminée ou gyratoire. Toutefois diverses autres courbes, peuvent être envisagées, au point de vue de l'art, aussi bien que des facilités du calcul.

Mais c'est assurément le choix de la directrice qui imprimera le caractère le plus accentué aux diverses familles de surfaces ainsi constituées. Supposons la par exemple rectiligne et le front parallèle à lui même, en adoptant comme paramétre de similitude la longueur parcourue par lui suivant cette directrice a partir d'un de ses points; nous aurons ainsi le groupe des cônes, et a la limite celui des cylindres. Mais on pourrait en obtenir de différents avec la ligne droite, en modifiant les autres conditions.

Si on lui substitue le cercle en plaçant son centre au pôle, avec un front normal et une génératrice immuable (ç== 1), nous retrouvons les surfaces de révolution. Mais le cercle peut aussi fournir d'autres familles avec des lois différentes.

Nous donnerons dans la suite de cette étude une prépondérance toute spéciale comme directrice a la spirale logarithmique; et c'est de ce choix que nous ferons sortir le groupe des surfaces nautiloïdes qui semblera peut être, par l'importance de ses propriétés, mériter de prendre place dans la science.

(*) Lorsque le front reste parallèle à lui-même, on peut, en désignant par a la constante — i qui mesure son inclinaison sur Taxe polaire, donner à la relation (3) la forme suivante

(F+/+R)(F+/-R)(F~/+R)(-F+/+R) = [2/Rsin(«>-«)p.

des us

Les quatre types simples

6- Attachons nous tout d'abord a dégager pour chacun d quatre éléments fonctionnels i\ f <p, <J>, l'hypothèse la pi simple qui lui soit propre,

En ce qui concerne en premier lieu l'inclinaison du front sur le rayon vecteur, cette condition sera évidemment

et confondra incessamment ce plan avec celui du méridien, c'est-a-dire sa trace avec le rayon vecteur de la directrice. Nous conservons d'ailleurs une entière généralité pour les trois autres fonctions F, f, ç.

Il est facile d'établir l'équation de ces surfaces à front méridien. Les relations (3), {!}, (2) deviennent en effet

cos i— 1 ,

La longitude en d'un point quelconque N (fig. 2) de la génératrice méridienne peut ainsi être substituée, sous les signes fonctionnels, à l'azimut d du point décrivant M, et il vient pour l'équation cherchée

Fig- 2

J'ai préféré la déduire de nos formules fondamentales, afin d'en montrer de suite l'usage, mais il est facile de la lire directement sur la figure 2.

7* En ce qui concerne en second lieu le rapport de similitude, le paramètre de beaucoup le plus utile sera le rayon ve-

cteur lui même

La génératrice variable est alors représentée (1) par l'équation

Nous appellerons de telles surfaces vectorielles, quelles que soient d'ailleurs les fonctions F, f, ty.

8. Adjoignons a la condition vectorielle celle de l'inclinaison constante du front sur le rayon vecteur

ty = const.

Les surfaces ainsi constituées, quelles que soient F et f (c'est-àdire la génératrice et la directrice) jouissent d'une importante propriété.

Le triangle OMn (fig. 1) conserve en effet pendant le mouvement générateur du point N sur sa trajectoire de l'espace, un angle invariable % — i compris entre deux cotés proportionnels r et Ç. Il reste donc semblable a lui-même. Dès lors On sera proportionnel a Mw, et par suite a Nrc. En même temps ce rayon vecteur On fait avec OM un angle invariable qui est la différence de i et de MOra. Le point n décrit donc une courbe semblable à la directrice. D'autre part enfin l'angle vertical NOw, qui n'est autre que la latitude 1 du point N, reste lui même constant durant le mouvement. De la ce théorème:

Si l'on coupe par un cône de latitude

X = const. ,

une surface vectorielle d'inclinaison frontale constante la courbe gauche d'intersection (N) conserve une projection équatoriale (n) semblable a la directrice (M), quelles que soient cette dernière aussi bien que la génératrice.

Le plan de l'équateur se trouve d'après cela sillonné de telles lignes pour les divers points N qui constituent le profil générateur. Imaginons dès lors que l'on fasse varier d'une manière continue le cône de latitude, depuis un angle infinitésimal autour de l'axe zénithal jusqu'à son épanouissement complet dans l'équateur, suivi lui-même d'un repliement en dessous jusqu'à l'axe nadiral. On verra, en suivant par la pensée le déplace-

ment corrélatif de l'intersection (IV) sur la surface, la courbe plane (ri) balayer le plu ri de l'équateur en restant semblable à elle-même, puis qu'elle doit toujours l'être à la directrice.

Bien entendu, selon la composition de la génératrice, sa rencontre avec le cône de latitude peut s'opérer en un nombre multiple de points, dont quelques uns peuvent devenir accidentellement des points de langenre. Il y aura donc en général plusieurs courbes semblables balayant a la fois -diverses zones de l'équateur, en s'éloignant ou se rapprochant les unes des autres, pour arriver a se fondre ensemble à l'instant d'un contact.

9. En ce qui concerne en troisième lieu la génératrice, le choix le plus simple sous le rapport géométrique, en même temps que Je plus rapproché des vues qui nous dirigent en histoire naturelle vers le genre Sauttlm, de la famille des Nautilùlésj, est celui d'un cercle dont le centre parcourrait la directrice quelconque F,

Supposons en même temps la surface vectorielle* L'équation de la circonférence variable devient alors à chaque instant

P + ^-BV, £~ l/BV-z",

en désignant par B le multiple constant du rayon vecteur de la directrice qui fournit le rayon de courbure de la génératrice circulaire. «

Admettons enfin, en ce qui concerne l'inclinaison frontale, la loi du front méridien. L'équation (5) de cette classe de surfaces devient dans ce cas

R«fi /BV- R 2 tang a X,

entre les coordonnées R, to, ï, une fois que l'on a remplacé r par F(w). Elle subit les transformations suivantes

(R-r)* = BV 2 — R»tang*X,

H>(l+Ung*J) — 2Rr + f*(l— B') = 0,

fe£r) , - 2 '«" 1 (^) +fî(ï - BÎ) =°-

—5- — rcosX± ^f^cfw'X+fB 1 — l)r»,

cos K x '

(7) R = F(») cos X (cos \ ± ^/B* — sin 3 *) .

Gette formule vérifie avec évidence le théorème du N° 9 relatif aux surfaces vectorielles d'inclinaison frontale constante, d'après lequel, pour une latitude fixe, la projection horizontale reste semblable à la directrice : R = F(a>}.

10. La surface ainsi constituée est symétrique par rapport à l'équateur, puisque son équation ne dépend que de cos X et sin 2 X. Contentons nous donc de raisonner sur la moitié supé-

rieure, en faisant varier X seulement do à -r- .

Son sinus restant positif, la condition de réalité du radical se réduit à

sin X < B .

Si B>1, (le cercle générateur recouvrant alors le pôle comme une voûte), cette inégalité ne limitera en rien la variation de X dans toute l'étendre de l'angle droit.

Le cas-limite B=l prendra une grande importance dans la suite de ces recherches. Nous désignerons sous le nom d*équiradiales les surfaces qui lui correspondent ,

Mais supposons au contraire B<1, (le profil circulaire restant alors entièrement situé d'un même coté du pôle), nous poserons pour simplifier les calculs

B = sin b .

Dans ce cas, Ton n'obtiendra d'intersection du cône de révolution avec la surface qu'en dessous de la latitude

sin X = B , Xq = b .

À cette limite même, l'équation (7) de la surface nons donne

R = r cos 2 X = F(œ) cos 3 b ,

Au dessous, l'intersection se développe suivant deux branches distinctes, qui vont en s'écartant Tune de l'autre jusqu'à ce qu'elles forment les deux parties de la trace équatoriale, pour les valeurs

Xi = , R = f (1 + B) = (1 ± sin b) Y(m) .