En ce qui concerne en quatrième lieu la directrice, nous

fixerons notre attention d'une manière toute spéciale sur la spirale logarithmique.

Nous prendrons son équation sous la forme

r __ tf A8 ==tf 0cota

en désignant par a l'inclinaison constante de sa tangente sur le rayon vecteur, et prenant comme unité la longueur Ol interceptée par la courbe sur Taxe polaire, pour l'azimut 6 = 0.

Si nous supposons dans ce cas la surface vectorielle et d'inclinaison frontale constante, elle prendra pour nous sous cette triple condition le nom de surface nautiloïde, quelle que soit sa génératrice f. De la une famille de surfaces bien définie.

La proposition du N° 9 leur convient, et se précise même alors encore plus. En effet les courbes semblables a la spirale logarithmique

r = ce^ = e^ (® + lo S c tan & a )

sont des spirales égales mais déviées de l'angle loge tanga autour du pôle( 1 ). Si nous fondons d'ailleurs cette déviation dans la gyration qui a été envisagée au N° 9, c'est alors la directrice elle-même que l'on voit entrer en mouvement pour balayer Téquateur sans changer de forme (en se dédoublant au besoin de différentes façons pour des intersections multiples, avec des rotations de divers sens pour ses diverses individualités) au fur et à mesure que le cône de latitude varie du zénith au nadir en passant par l'équateur.

12* Ces lignes de latitude jouissent dans les nautiloïdes d'une propriété très remarquable.

L'ordonnée du point déterminé par cette latitude constante reste par cela seul sa propre homologue sur les génératrices semblables dans toutes leurs situations. Elle sera donc proportionnelle au rayon vecteur du point décrivant de la directrice, ce qui donne

z== Cr = Ce M .

On a d'après cela tout à la fois

dr = Ae AO dQ , dz = ACe AQ dQ ,

(*) Tous les logarithmes qui figurent dans ce mémoire sont pris dans le système népérien.

et il vient pour l'inclinaison j de cette courbe sur l'horizon:

dz AC ,,

taner ; = —====, = — ===== = C cos a ,

valeur constante.

D'après la similitude que conserve incessamment la figure formée par la tangente, l'équateur, le cône, sa génératrice et son plan tangent, il en sera de même de l'angle que comprennent entre elles la tangente et la génératrice du cône. Cette ligne gauche serpente donc sur le cône de révolution en traversant sous un même angle toutes ses arêtes.

On reconnaît à ce caractère la courbe qui a été étudiée par Tissot (Nouvelles annales de mathématiques^ 1852), Paul Serret {Théorie nouvelle géométrique et mécanique des lignes à double courbure, 1860, page 101), G. Pirondini (Journal fur Mathematik, Berlin, tome cxviii, page 61), F. Gomes Teixeira (Tratado de las curvas especiales notables, Madrid, 1905, page 566). Le second de ces géomètres lui a donné le nom d'hélice cylindroconique. Cette dénomination serait un peu longue pour le très fréquent usage que nous aurons a en faire. Je lui substituerai pour ce motif l'abréviation: cdnhélice.

Remarquons avec soin que, si toutes les cônhélices sont des lignes d'égale pente du nautiloïde, toutes les lignes d'égale pente de ces surfaces ne sont pas des cônhélices. Il suffit d'en donner cette raison évidente qu'il y a en chaque point une seule de ces dernières, déterminée par son cône de latitude, tandis qu'il part de ce point une infinité de lignes d'égale pente sous toutes sortes d'inclinaisons.

Nautile à front méridien

13. Réunissons actuellement ensemble les quatre conditions simples qui viennent d'être étudiées distinctement, à savoir: la génératrice circulaire, la directrice spirale, le rapport vectoriel et le front méridien. Nous constituons ainsi un premier type bien déterminé, en vue de l'assimilation que nous cherchons avec la nature vivante. Nous lui donnerons le nom de nautile a front méridien.

Son l'équation sera (7)

R = * Aw cos X (cos X ± \/sin*b — sin 2 X) ,

Elle met bien en évidence la nature des lignes de latitude. Si Ton emploie en effet l'abréviation

S ^ tang a Log [cos X (cos X + ^sin* b — sin a X)] ,

cette formule devient simplement

et représente en projection équatoriale, pour une latitude constante, une spirale logarithmique égale a la directrice, et déviée de l'angle 5*

Pour la valeur limite X^ = b, le double signe disparait; on obtient alors la projection de la ligne de contact du nautile avec le cône qui lui est circonscrit à partir du pôle. Elle a pour déviation

§ = 2langtf Logcosi .

Celles des deux traces équalorialcs (pour Xj =0) sont de même

LogQ+B) .

14* Nous avons établi (N D 10) une première distinction selon

que B 5- I , c 'est-a-dire que le cercle générateur recouvre ou

non le pôîe. Une seconde division devient ici nécessaire* En effet cette circonférence peut être, on non, rencontrée par la nouvelle position qu'elle prend a son retour dans le même méridien pour engendrer la spire suivante* Par cela seul, le même cercle initial coupe de même la circonférence de la révolution précédente, en raison de la similitude permanente du groupe formé par deux méridiennes successives.

Si les cercles consécutifs restent nettement séparés par des intervalles vides, la surface se développe en une seule nappe de forme spiraloide, évasée transversalement en forme de cor comme dans le ^enre criocéms. C'est le cas le plus simple, et il est facile de formuler sa condition d'existence,

Les rayons vecteurs du point décrivant, pour deux révolutions successives de la directrice, sont e^ et e A (^+ 27r ), Leur différence, c'est-à-dire l'intervalle de ces spires, a donc pour valeur

Quant aux rayons correspondants des cercles générateurs, on les obtient en multipliant par B ces deux rayons vecteurs- Leur somme sera d'après cela

B* AÔ (* 2xA +l).

Pour que les spires de la surface restent distinctes sans empiéter Tune sur l'autre, il faut que cette somme n'occupe pas la totalité de l'intervalle ci-dessus, c'est-a-dire que

,2tuA B<

C'est donc par l'unité d'une part (N° 10) et par cette fonction que se trouvent séparées, pour une valeur donnée de A, les trois classes distinctes de nautile à front méridien,

15. Mais le cas des intersections présente une tout autre complexité. Etudions le avec quelque détail.

Nous emploierons comme coordonnées de la section méridienne dans son propre plan R et z. Le centre du cercle générateur ayant pour abscisse r, et son rayon étant Br, il aura comme équation

R 2 -2rR+z 2 = (B 2 -l)r 2 , 2rR — R 2 -z 2 = r 2 cos 2 £.

La circonférence qui lui succède, non pas immédiatement mais à n spires de distance, nous donnerait de même

2r / R-R 2 -* 2 = r' 2 cos 2 *;

En retranchant ces deux relations, nous trouvons pour l'abscisse R de l'intersection

2(r' - r)R = (W 2 - r 2 ) cos 2 b ,

Or on a

f 7 = gA(<D+2wic) __ re 2nAx

et par conséquent

(9) R = — -i-s cos 2 £.

1 4. ,2»Ax

16. Si Ton envisage R et o> comme des coordonnées polaires, on obtient l'équation de la projection équatoiïale de la trajectoire du point d'intersection, a savoir

R = e A(««-FA) )

en posant pour abréger

/ e 2nAz +{ \

A — tang a Log I - cos 2 £ j •

On y retrouve donc la spirale directrice elle-même déviée de l'angle A. Les courbes gauches qui lui correspondent pour les diverses valeurs de n seront certaines cônhélices spéciales du nautile.

Nous les appellerons gouttières. Cette dénomination se présente d'elle-même à l'esprit pour celles d'entre elles dont les parois latérales plongent toutes les deux vers le bas, figurant une vallée dont la cônhélice formerait le thalweg.

Si Ton engageait sur cette ligne une bille infinitésimale descendant sous l'action de la pesanteur sans aucune résistance passive, elle obéirait, d'après le théorème des forces vives, a la loi de mouvement connue sous le nom de plan incliné; laquelle nest autre que celle de la chute libre des graves avec réduction de l'accélération d'après le sinus de la pente.

17* Cherchons d'autre part l'ordonnée z du point d'intersection. L'équation (8) nous donne a cet égard

c'est-â-dire (9)

tang 2 X = — 1

(1 + e ?nAr^ cos 2 b ^ , j e 2nAxy '

4 É 2«Ar

1 + tansr 2 X = ^—.~ — ■ ,

° (1+* 2nA *)*cos 2 £

e iiAz i e — «As (10) COSÂ.= -r cosb.

Cette valeur de cosX, bien qu'obtenue par l'extraction d'une racine carrée, ne comporte pas de double signe, attendu que

l'angle de latitude ne se compte que de — — a + — . Mais on

voit qu'a chacune des valeurs positives de ce cosinus correspondent, d'après la symétrie de la formule, deux valeurs égales et de signes contraires de n. Il y a donc autant de circonférences a droite qu'a gauche du cercle central, duquel nous sommes partis, qui sont rencontrées par lui. Et en effet, ainsi que nous l'avons déjà fait remarquer, il ressort de la similitude permanente que cette circonférence joue par rapport aux cercles moindres qu'elle situés sur sa ganche le même rôle qu'exercent à son égard les cercles plus grands qui se trouvent à sa droite.

On voit en outre que pour chaque valeur positive de cos X, la latitude est susceptible de deux valeurs égales et de signes contraires; conséquence immédiate d'ailleurs de la symétrie de la surface au dessus et au dessous de l'éqaatèur.

18. Toutefois ces valeurs ne seront réelles que sous la condition

cos X < 1 , d'où l'on déduit (10)

(11) ? nk * L r e nA *+ 1<0 .

v ' cos b

Pour que ce trinôme soit négatif, il faut que sa variable £ lAx reste comprise entre les deux racines, qui sont

1 + sin b

cosb ou sous des formes équivalentes

lan HT-irJ' cot (T-yj-

Ces valeurs sont réciproques l'une de l'autre. Leurs logarithmes (qui devront comprendre entre eux nk%) sont donc égaux et de signes contraires. Par conséquent n ne doit pas

excéder les deux limites

±^--Logtang(|-|)

Il est facile de concevoir a priori qu'il doive y avoir, de part et d'autre, une limite pour les intersections ( 4 ). Lorsque, en effet, a partir d'une position déterminée, le cercle s'éloigne de plus en plus par des rotations successives, encore bien que son diamètre augmente avec le rayon vecteur de son centre de manière à le recouvrir vers son extrémité sur des longueurs indéfiniment croissantes, il laisse cependant a découvert du coté du pôle un segment qui varie lui-même proportionellement, en arrivant ainsi a dépasser toute limite, et en particulier le rayon de la circonférence fixe sur laquelle portent nos raisonnements, A partir de ce moment, il n'y aura plus rencontre.

19. Appelons N le plus grand nombre entier qui satisfasse a la condition numérique

02) N<^Logtang(!-4),

le cercle considéré en rencontrera en tout 2N autres, a savoir N plus grands sur sa droite, et N moindres à gauche.

Si l'on voulait accroître la valeur de ce total, et avec lui la complication de la surface, il suffirait d'augmenter a et b, c'està-dire, d'employer des spirales plus lentes et des cercles plus grands par rapport au rayon vecteur de leur centre.

A ces points d'intersection des circonférences méridiennes correspondent 2N gouttières, à savoir N au dessus de l'équateur, et N au dessous. Il existe cependant 4N intersections du eercle central par ses 2N satellites, mais elles se trouvent associées deux par deux sur la même droite de latitude, qui coupe nécessairement deux fois chaque cercle. Elles sont dès lors traversées toutes les deux par la même cônhélice. Elle rencontre une première fois le cercle central sur sa gauche en son croisement avec un plus petit que lui, puis une seconde fois, en

(*) Sauf lorsqu'on arrive à la limite jusqu'au nautile équiradial :

raison de la similitude, sur sa droite, lorsqu'il joue lui-même le rôle de petit cercle vis a vis d'un plus grand que lui.

Le nombre des gouttières est donc toujours pair. U existe cependant a cet égard une exception qu'il faut enregistrer. Supposons en effet que l'expression (12) ait précisément pour valeur un nombre entier» On peut alors attribuer à n cette valeur limite elle-même, en outre de tous les nombres entiers inférieurs. Mais c'est toutefois à la condition d'annuler par ce choix spécial le trinôme (1 1), au lieu de le rendre négatif. On a donc dans ce cas

cos X = 1 , X =* .

Le rencontre des cercles se fait par conséquent sur l'axe polaire, et ils y sont tangents l'un à l'autre. Au point de vue algébrique on peut assurément voir là une solution double, et maintenir par cet artifice le nombre 2N des gouttières. Mais, dans la réalité physique, on n'en aperçoit plus sur la surface que 2N — 1 seulement, a savoir N — 1 cônhélices au dessus de l'équateur, antant en dessous, et une spirale logarithmique qui serpente dans le plan même de symétrie, où elle forme une ligne de soudure des spires consécutives entre elles.

Le cas spécial N=l marque a cet égard le passage de la seconde catégorie (N° 15) a celle des intersections. La relation (14) devient alors

tanga.Log (j — j) —*»

B = sin b = cos (2* Alc ) .

On rencontrera donc un tel nautile soudé pour une spirale quelconque, en employant un rapport vectoriel approprié, ou pour un rapport arbitraire avec une spirale convenable.

20. Rentrant maintenant dans le cas général, nous voyons que ces diverses cônhélices séparent la surface nautilienne en 2N zones, infinies suivant le sens spiraloïde, mais se cloisonnant mutuellement dans la coupe transversale, a la manière des bulles de savon ( 4 ).

pentant à la superficie du solide.

-WÏX?

Nous pouvons entreprendre d'évaluer le nombre des compartiments distincts suivant lesquels se trouve cloisonnée l'aire du cerde central par la traversée des cercles satellites, de gauche et de droite, qui le coupent en l'accompagnant comme un cortège dans son mouvement générateur.

Nous ne compterons essentiellement que pour une unité dans ce cortège l'ensemble des compartiments disposés en série, dont chaque terme vient, après une révolution pendant laquelle il se dilate, se superposer, a son retour, sur le suivant. Ce que nous évaluerons, en un mot, est le nombre de tubes spiraloïdes distincts, qui remplissent par leur ensemble la superficie externe engendrée par le cercle central. La plus élevée (fig. 3) des N droites de latitude situées au dessus de l'équateur traverse un

Fig. 3

triangle curviligne unique. Le rayon de rang N — 1 traverse deux quadrangles curvilignes; mais ils ne doivent compter que pour une unité se recouvrant elle-même dans la gyration qui lui fait traverser le cercle central. Au rayon N — 2 correspond également un unique quadrangle, qui se recouvre lui même deux fois; et ainsi de suite. Le second rayon a partir de l'équateur fournit encore un dernier quadrangle, qui se recouvre N — 2 fois.

C'est donc, sur le pied d'un seul tube spiraloïde pour chaque rayon de latitude, un total de N— 1 tubes. En vertu de la sy-

me trie, nous en avons tout autant au dessous de l'équateur; soit en tout 2(N— I).

Mais il nous reste encore a envisager le premier raypn, aussi bien au dessus qu'en dessous de ce plan. L'une et l'autre de ces deux droites traversent un même sextangte curviligne, formé de six arcs de cercle, et se recouvrant lui-même N— 1 fois dans la gyration. Il ne compte donc ici que pour un seul tube, tant au point de vue des recouvrements successifs que pour les deux côtés de l'équateur.

Il en est de même en ce qui concerne Taxe polaire qui traverse des biangles curvilignes , composés chacun de deux arcs de cercle régnant des deux côtés du plan de symétrie. Ce compartiment se recouvre N fois, et l'ensemble ne compte encore que pour une unité. En la joignant à la précédente et aux 2(N — 1) trouvées ci-dessus, nous obtenons donc un total , définitif de 2N tubes.

21. Evaluons de même le nombre des points de croisement de ce réseau.

Nous en trouvons 2 sur le N c rayon; 3 sur le (N— ï) c , 4 sur le (N — 2) c , : . . . , N sur le 2 e , et enfin N + 1 sur le premier. L'axe polaire ne traverse aucun croisement. Ce total est donc

mais il en existe autant au dessous de l'équateur, et le chiffre définitif devient

22. Enumérons encore les arcs de cercle distincts qui constituent le canevas de ce cloisonnement.

Le premier satellite de gauche présente, à l'intérieur du cercle central, un arc qui tourne sa convexité vers la droite et traverse l'axe polaire; le second, un arc au dessus de cet axe, un au dessous, et un troisième qui le traverse; le troisième satellite donne deux arcs au dessus, deux au dessous, et un cinquième transverse; et ainsi de suite. Le N c satellite en fournira 2N — 1. On obtient donc la série:

Mais les satellites de droite en présentent un nombre égal qui teurnent leur convexité vers la gauche. Et enfin le cercle générateur, pour son propre compte, en possède 4N le long de sa

périphérie complète. Le total est donc

Ce résultat peut servir a contrôler le précédent (13). En effet en chaque point de croisement se rencontrent deux cercles. Il en part donc quatre amorces, a savoir 4N(N + 3) en tout. Il y a toutefois exception pour les 4N points du cercle central, d'où ne partent que trois amorces, puisque nous ne sortons pas à l'extérieur. Le résultat est donc

Mais chaque arc de cercle soude Tune a l'autre deux amorces. Leur nombre est donc la moitié de ce dernier, c 'est-a-dire égal a celui que nous avons trouvé plus haut.

23. Nous pouvons déterminer les différentes valeurs des angles plans que comprennent entre eux les divers de arcs cercle du cloisonnement.

L'angle des deux circonférences qui ont pour centres C et C' (fig. 4) est le même que celui CGC de leurs normales. Or son

supplément CGS a pour bissectrice GO d'après la proportion