X + YF-O

Quant au plan tangent de la sphérale, il est perpendiculaire au rayon de la sphère, dont les cosinus directeurs sont proportionnels aux différences respectives des coordonnées (a?, y, z) du point N, et de celles (a, F, 0) du centre M. Tels seront

<$onc les coefficients angulaires de l'équation du plan tangent

(155) (,r-a)X + (y-F)Y + zZ = 0.

L'ensemble de ces deux relations représente la parallèle menée par l'origine a la tangente de la caractéristique; et Ton peut le mettre sous la forme

*F' — z (y — F) — (a?— a) F' ' Élevons par l'origine le plan perpendiculaire

«F'X — zY + ïy — F — (* — «)F']Z-0.

Il sera parallèle au plan qui serait conduit par N de manière a couper le plan tangent suivant la tangente de la ligne de courbure. L'ensemble de cette égalité et de (155) représente par conséquent la parallèle a cette tangente.

Nous en obtiendrons la projection équatoriale par l'élimination de Z entre ces deux formules, ce qui donne

De la le coefficient angulaire de la projection horizontale de la tangente Cherchée

mfn d y - (g-«)fr-F-(g-«)iH--*«F'

K% J dx (y — Fj[y-F — (j? — «)F'J + «* '

La ligne de courbure étant située sur la sphérale, les quatre quantités x, y, z, a doivent satisfaire a la fois aux deux équations (83), (84) qui la représentent. Nous sommes donc autorisés à en déduire z et a, pour en opérer ici la substitution. Celle de z peut se faire une fois pour toutes. Elle donne après toutes les réductions

dy fo-F)[g-« + (y-lQF3-y»F' dx (« — o)[jr — a + (y — F^F 7 ] — <p* '

expression que Ton peut encore simplifier au moyen de Téqua-

tion (83) sous la forme définitive

v ' dx (x — a)<p' + cp

Si maintenant, lorsque seront spécifiées dans chaque cas les fonctions F et cp, on résout cette même relation (83) par rapport à a pour en substituer ici la valeur, on aura, entre a?, y, dx, dy, l'équation différentielle du premier ordre et du premier degré de la projection équatoriale de la seconde ligne de courbure de la sphérale.

158. Dans le cas le plus général, la trace de cette surface doit être l'une de ces lignes de courbure: car elle coupe orthogonalement, en raison de la symétrie de la figure par rapport a i'équateur, toutes les caractéristiques, aux points où elles traversent ce plan.

On peut le reconnaître dans nos formules. Si Ton fait en effet z = dans l'équation (156), elle donne pour les points situés dans I'équateur

dy x — ol

» dx # — F '

montrant ainsi que l'élément de cette ligne, (de composantes de, dy), est normal à la droite qui joint le point considéré (se, y) au centre (a, F) du grand cercle de la sphère. La ligne de courbure est donc tangente à ce cercle, dont l'enveloppe constitue la trace de la sphérale.

159. Convenons transi toi rement de représenter pour abréger par les lettres G, H, K, L, M, N diverses fonctions de a qui nous sont connues. L'équation différentielle (157) pourra s'écrire

W+G)dy=(y< i '+\\)dx.

D'autre part la relation (84) prend la forme

Hl

d'où, en substituant,

(- Î/F'cp' + L) dy = (jrç/ + H) [- F'^ - foF" + K')] <fe .

Il est très important de remarquer que le terme

-V^idy,

se trouve à la fois dans les deux membres et disparait de luimême. Il reste alors une équation différentielle de la forme

(158) M-^ + cp'FV + Ny-HK^O.

Les équations de ce type ont été intégrées par Euler, mais seulement dans le cas où Ton possède directement une solutiun particulière. Si nous supposons l'intégration effectuée avec une constante arbitraire C, cette valeur de y fournira, au premier degré, celle de x d'après la relation (84), et la projection de la ligne de courbure se trouvera représentée par les expressions des deux coordonnées en fonction de «. Lorsque l'élimination de ce dernier sera possible, on obtiendra l'équation définitive de cette famille de courbes, dont le paramètre sera C, de mème # que a est celui de la première.

160. Dans plusieurs cas très étendus, la restriction d 'Euler disparaît, et nous pouvons d'une manière générale ramener aux quadratures l'intégration de l'équation (158).

C'est d'abord lorsque le terme en y % s'évanouit, ce qui peut arriver de deux manières.

En premier lieu, pour <p' = 0, ou cp = const. ; ce qui se rapporte aux surfaces- tuyaux de directrices quelconques.

En second lieu, pour F , ' = 0, c'est-à-dire F = ?nx + n, indiquant une directrice rectiligne, quelle que soit la loi du rayon sphérique. En un mot, c'est le cas des surfaces de révolution de méridienne quelconque.

Dans ces deux circonstances, nous nous trouvons ramenés a une équation linéaire en y, que l'on sait intégrer au moyen de deux quadratures.

La seconde simplification de l'équation différentielle (158) concerne la disparition du terme indépendant de y\ ce qui peut encore arriver de deux manières.

D'abord pour K' = 0, ou K-=eonst. Cette circonstance est

facile a formuler^); mais ne semble pas mériter de retenir l'attention.

Il reste enfin la seconde solution H = 0, ou, en se reportant à l'équation (157)

Fcf/ — cpF , = O f — = -pr. Log ? = LogF + LogB,

c? = RF,

c'est-à-dire précisément la condition vectorielle, avec une directrice et un module B quelconques.

Dans ces deux derniers cas, l'équation différentielle (158) devient

M^+ ? 'F'y + ïty=0, ou, en la divisant par y 2

équation linéaire par rapport à

( l ) Si Ton se reporte à la relation (84) pour préciser la forme de la fonction K, il yient, en représentant

par ~ la valeur de la constante

K = « + FF'<p ? ' = |-,

2<p<p' = 2FF' + 2<x — g, <p* = F 2 -f a 2 — ga.

Portons en OG (fi g. 23) la longueur g, et par le point fixe G menons la verticale GH jusqu'à la rencontre de la circonférence décrite sur OP =* a comme diamètre. Nous aurons en GP la longueur a — g % et en PH la moyenne géométrique entre a et a — g. En Fig. 23 rabattant ce segment en PK, on

obtiendra dans le carré de l'hypoténuse MK la somme des carrés MP 2 =F 2 , etPK 2 = a(a — g), c'està-dire <p*. Telle est donc la construction du rayon sphérique <p = MK.

161. Attachons nous au cas des sphéralcs vectorielles pour le développer complètement. Le coefficient B disparait de luimême de l'équation (157) qui se réduit a

(xV + F - aF') dy = F'ydx ,

tandis que (84) devient de son côté

(159) j^-yF' + a + FF'eos 2 ^,

dx = - V'dy + da [- yV" + 1 + (FF" + F'*) cos 2 b] .

Il vient dès lors en substituant

F (1 + F' 2 cos 2 *)-$- = V'y [— yF" + 1 + (FF" + F' 1 ) cos 2 b] , d'où, en divisant par ?/ 2

■4- ( 1 4- F' 2 cos 2 £) — ^ + [1 + (FF"+ F /2 ) cos 2 b] ( j- ) - F" = ,

L'intégrale de cette équation linéaire obtenue par la méthode classique donne

p jr r i + (FF'/ + F'«) co^n -i J F L i + F2co & *& J *

(160) y= ' /»F/ri-HFF" + F'*ico>*«n , »

„, r f'f ,/ jtl !+*««**» j* f

J F(l + l'*cos 2 4)

et l'équation de la seconde famille de lignes de courbure résultera de l'élimination de a entre (159) et (160), lorsque sera spécifiée la fonction F.

162. Pour présenter une application de cette méthode, considérons la parabole

y = aî 2 , F = a 2 , F' = 2a, F" = 2.

La première quadrature est alors *U* l+6a 2 cos 2 £

a ' 1 + 4a 2 cos 2 /»

= s Log(a 2 t/l+4«* cos 2 £).

La seconde devient d'après cela

4arfa t/l -)-4a 2 cos 2 A

L'intégrale de l'équation différentielle est donc

__a i cos , é \/ \ + 4a*cos 2 b ( ' y== C+/T+4«*cos«/~'

11 vient dès lors (159)

2Ca 3 cos 2 *