X—CL

et finalement

Ponr C » 1 , et C = <x> , nous retrouvons distinctement les deux parties constitutives de la trace équaloriale (N° 128) de la sphérale étudiée ci-dessus, à savoir (N° 132) le cercle qui a son centre au foyer de la parabole (fig. 18), et la tangente au sommet.

Les autres valeurs de C donnent des ellipses ayant pour petit axe le diamètre de ce cercle dirigé suivant Taxe de la parabole.

Si Ton reporte cette valeur de x 1 dans l'équation (105) de la sphérale, il vient

( l ) On ne doit pas en cffVt chercher la solution de ce cas limite dans la formule (161), en y faisant cos b = 0; car nous avons été, au cours des calculs, conduits à diviser par cos b.

Je ne m'arrêterai pas à développer un exemple analogue relatif à la parabole cubique y = &. L'équation (163) se réduit alors au second degré.

Les lignes de courbure sont donc renfermées dans une série de plans se mouvant à charnière autour de la tangente au sommet de* la parabole directrice, depuis celui de l'équateur jusqu'à la position verticale. Elles sont par conséquent elles-mêmes des ellipses.

Leurs projections sur ce dernier plan seront donc encore d'autres ellipses, que Ton obtiendrait en substituant cette dernière valeur de y dans l'égalité (105).

On voit dès lors que cette sphérale équilatère fait partie du groupe des surfaces qui admettent deux systèmes plans de lignes de courbure.

S XXVI Lignes de courbure en coordonnées polaires

165- Reprenons la même recherche pour les sphérales vectorielles rapportées a des coordonnées polaires; a savoir r, pour le point décrivant M de la directrice; R, o> pour le point n qui parcourt la projection équatoriale de la seconde ligne de courbure; R, <o, X pour le point N de la sphérale dans l'espace.

Nous avons vu que la recherche de l'équation de cette surface revient a l'élimination de entre les relations générales (110), (111). Nous admettons donc qu'an cours de cette opération, l'on a obtenu, en fonction des coordonnées R, o>, X de N, l'expression de l'azimut du centre M de la sphère qui s'y raccorde ( 4 ).

La tangente a la projection de la ligne de courbure étant wM* (fig. 21), l'équation différentielle de cette courbe pourra s'écrire

( 1 61) -~- =» tang OnMj « tang (MinMj — M,nO) ,

à la condition d'en exprimer le second membre en R, co seulement.

Puisque le point N appartient a la caractéristique de rayon k

(!) Les valeurs (196), (137), (138) nous en fournissent un exemple en ce qui concerne le sphèro -nautile.

et de coordonnées £, z, nous avons