Ces égalités donnent pour la spirale de Poinsot

Résolvons cette équation, en laissant les doubles signes implicitement attachés aux racines, et décomposant les radicaux superposés eh radicaux simples. Il vient ainsi:

^ + ^rî = ^+A +v /!!!:

d'où

e 9 + e- e = /S(»«+J), et par conséquent

cos

= o> + arc cos 1

Si donc on remplace dans cette formule v par sa valeur

v cos 2 X

ou aura l'équation de la sphérale équiradiale entre R, w, X.

Si au contraire on substitue pour v l'expression

t .__ ( c-y(?-ii«),

on obtiendra l'équation de la projection horizontale de la seconde famille de lignes de courbure de cette sphérale entre R, &>, C.

§ XXVII Surfaces podaires

175. Proposons nous de trouver la surface podaire d'une sphérale absolument quelconque, par rapport au pôle. Ce choix spécial ne restreint pas d'ailleurs la généralité de la recherche pour un point arbitraire du plan de. la directrice, puisqu'on peut toujours y rattacher comme pôle l'équation de cette courbe.

Envisageons à part le groupe spécial de plans tangents qui, le long d'une même caractéristique, sont communs à la surface, a la sphère variable, et au cône circonscrit. L'angle d'ouverture 2c de ce dernier nous est connu d'une manière générale (114). Si nous abaissons du pôle une perpendiculaire sur chacun de ces plans, ces droites dessineront dans l'espace un nouveau cône de révolution, dont l'angle d'ouverture % — 2c sera supplémentaire du celui du précédent, et l'axe parallèle à la tangente de la directrice en son point décrivant. Les intersections des génératrices de ce second cône avec les plans tangeuts perpendiculaires formeront une certaine ligne C, et le lieu de ces courbes, lorsque M parcourt la directrice, constituera la surface podaire cherchée. L'une des deux équations de cette ligne sera donc celle du cône supplémentaire en question. Nous pouvons aisément lui en adjoindre une seconde.

En effet la projetante OP du pôle O sur l'un des plans tangents du cône circonscrit, et la droite qui, dans ce plan, joint le pied P au sommet Ma de ce cône, forment un angle droit inscrit sur la droite fixe OMg. Le point P appartient donc a la sphère qui aurait OMj pour diamètre; et par conséquent la courbe C toute entière se trouve sur cette sphère, dont l'équation formera la seconde relation cherchée.

Développons ces formules, en nous limitant, comme ci-dessus, aux directrices planes.

A-ll R. 4822

176. Le cenlre de la sphère se trouve au milieu du rayon vecteur OMa = rj (149) de la courbe lieu géométrique du sommet du cône circonscrit a la sphérale. Elle a donc pour équation

(„<■.«**)•+ („-£.«„ •,)' + «■- (lfj\

# 2 + y 2 + * 2 — r * (« cos 0j -\-y sin 0*) « , R* (1 + tang* X) — r*R (cos <o cos 0f + sin o> sin 0i) = ,

x v cos'A. x '

relation dans laquelle on remettra pour rj, 0*, leurs valeurs (149) (150) en fonction de 0.

177. Formons en second lieu l'équation du cône supplémentaire dont le sommet se trouve au pôle.

Son axe parallèle a la tangente de la directrice fait l'angle 0-\-a avec l'axe polaire. Il admet donc comme équation

ys=-j?tang(ô + a).

L'angle générateur c' = — — c de ce cône a pour sinus le cosinus de c (114)

Or sin*/ exprime le rapport de deux distances: 1° celle du point (x, y, a) du cône supplémentaire a son axe de révolution; 2° celle l/#* + y* + a* de ce même point au pôle. L'axe de figure ayant pour équations

x sin (0 + a) — y cos (0 + a) = , « = 0,

la première de ces longueurs a comme expression

i/[rsin(fl + a) — ycos(0 + a)]* + z*.

De lk l'équation de ce cône

[« sin (9 + a) -y cos (9 + a)]* + «»-(*» + »« + *») (l-j,-^-),

ou en coordonnées mixtes

pa -} p/i „/2 sin 2 X + cos 2 X sin 2 (6 — o> + a) = f 2 T ,

«' cos X cos (a> — 8 + a) = T ,

(178) a) — 6 = arc tans ttt + arc cos ( 7 — ) .

V ; 5 F'^ Vco^^P+'W

Telles sont (177) (178) les deux équations de la courbe podaire C. En éliminant entre elles le paramètre 0, on obtiendra celle de la surface podaire.