Le calcul se simplifie pour les sphérales vectorielles

En premier lieu les formules (149) (150) qui expriment r*, Q% se réduisent à (151), (152) et donnent à l'équation (177) la forme

cos*X F' v '

En même temps l'égalité (178) devient

F , / F' sin* \

co — Cf = arc taiiff -—y- + arc cos [ ; \ .

6 F' \cosXi/F» + F'V

179; Supposons enfin qu'il s'agisse du sphéro-na utile, en considérant a comme constante. Ces dernières relations deviennent alors

,-v-- = — e k " taner a sin (<o — 0) ,

COS 2 X o \ /

. , / cos a sin b \

(o — = a + arc cos ( r ) ,

\ cos X /

d'où, en substituant la valeur de

cos 2 X

• I , /cosasinb\\ v r<ii-a-arccos(— — ^ tang a sin \a + arc cos f -— ) ! • « L (,J a Arc co * V cos \ )},

Telle est la surface podaire du sphéro-nautile d'indice vectoriel quelconque b.

% XXVIII Surfaces antipodaires

180. On sait d'après le théorème de Mac-Culi.agh ( 4 ), que si, d'une surface quelconque représentée par M sur la figure schématique 27, on prend la transformée Mi par rayons vecteurs

réciproques, puis la podaire M| de Mi, et enfin la transformée M3 de M* par rayons vecteurs réciproques, la proposée M est elle même la podaire de M3.

Imaginons que M soit une /' ^'-''7** sphérale, que nous suppo-

serons vectorielle ( 2 ) et de u F . 2 - directrice quelconque. En

appliquant a son équation les* formules générales de la transformation, nous obtiendrons celle de M|. D'après le théorème fondamental du N° 117, elle sera elle-même une sphérale vectorielle de même indice. La théorie précédente (§ XXVII) nous permet donc de connaitre sa podaire Ma. Puis les formules de la transformation réciproque en déduiront M3. Mais cette dernière surface M3 est l'antipodaire de M. Nous possédons ainsi la marche qui nous permettra d'obtenir l'équation de l'antipodaire d'une sphérale vectorielle quelconque.

181. Appliquons la au sphéro-nautile, dont nous avons l'équation générale (137, 138). Je la représenterai en abrégé par

( 1 ) Dont M. Humbert m'a communiqué une nouvelle et très élégante démonstration, encore inédite.

( 2 ) 11 nous serait facile de formuler une méthode applicable à une loi quelconque © du rayon sphérique; mais je supprimerai ce développement, puis que la formule vectorielle nous suffit pour l'application au sphéronautile.

Supposons, pour fixer les idées, cette surface tournoyant dans le sens sinistrorsum.

Le rayon vecteur de l'espace

P cosX '

donne

pour

transformation

Je*