CG C'G

On a donc et d'autre part

co ~ co •

CGC' = *-2(CG0),

sin CGQ CO sinCOG~CG '

sin CGO r

sin X Br '

sinX

sin CGO «

sine

Il vient d'après cela

sin CGC = sin 2 (CGO) = 2 ~i/l.

sin*X sin*b

2 y/(l — cos* X) (cos* X - cos» b) sin 2 b

expression dans laquelle il suffira de substituer successivement les N valeurs (10) de cos X.

24. Nous pouvons également évaluer les longueurs respectives des divers arcs du cloisonnement.

Ce sont en effet les différences consécutives des arcs tels que a = AL, interceptés sur le cercle central entre Taxe polaire ÔA et les diverses lignes de latitude OL. Or nous avons

AC'L — AOL - CL'O = CGO ,

et par conséquent, d'après les valeurs précédentes,

. , .. sinX sin (a — /) = — : — r .

N ' sin b

§ IV Mouvement nautiloïde

25. Le nautile que nous venons d'étudier avec détail : vectoriel, a front méridien, directrice spirale, et génératrice circulaire, n'est pas le seul type que cette analyse nous permette de rattacher a l'aspect extérieur du coquillage de ce nom. Nous en rencontrerons encore d'autres qui se rapprocheront de plus en plus exactement de cette ressemblance: nautiles a front normal, a front oblique, sphéro-nautile. Il sera toutefois inutile de reprendre pour chacun d'eux cette description si complexe.

Revenons pour le moment a une plus grande généralité, et tout en conservant le caractère vectoriel et la spirale logarithmique comme directrice, reprenons une génératrice quelconque (et non plus circulaire), avec une inclinaison frontale constante (mais non plus nulle).

Dans ces conditions, le rayon vecteur OM de la spirale (fig. 1), la tangente en son extrémité, la trace du plan de front, ce plan

lui-même, la ligne génératrice qu'il contient, l'ordonnée Nn d'un, de ses points, ainsi que le rayon vecteur On de la projection équatoriale de ce dernier, constituent ce que j'appellerai un édifice géométrique, immuable de forme, conservant sans altération chacun de ses angles pendant le mouvement générateur, mais amplifiant homothétiquement toutes ses dimensions par rapport au centre de similitude M, à l'unisson du rayon vecteur OM, c'est-a-dire suivant une progression géométrique, tandis qu'il tourne d'après une progression arithmétique autour de l'axe zénithal O.

Je regarde comme fondamentale pour cet ordre de recherches la conception dé cet édifice géométrique, dans lequel nous pourrons successivement, a l'occasion de chacune des questions distinctes, incruster, pour en faire partie intégrante, les divers éléments de ces questions, a la condition essentielle qu'ils relèvent eux mêmes de la similitude, c'est-a-dire conservent les angles et les rapports de dimensions.

C'est d'ailleurs de cette manière que l'on pourrait, même en géométrie plane pour l'étude de la spirale logarithmique, tout faire dépendre de la similitude de la figure élémentaire constituée par deux rayons vecteurs infiniment voisins avec les tangentes menées sous un angle immuable en leurs extrémités. La considération de cet édifice plan, auquel on rattacherait chaque fois les éléments des diverses questions qui ont été traitées sur cette belle courbe, me parait être la raison profonde de tant de remarquables propriétés, et de son extraordinaire persistance a se reproduire toujours la même (*), toutes les fois que l'on exécute sur elle des constructions dépendant uniquement de la similitude; au point que cette incessante réapparition finit par devenir en quelque sorte banale, et fatigante par son élégance même.

Il convient, d'après ces vues, de commencer par approfondir les propriétés générales du mouvement nautiloïde de cet édifice, c'est-à-dire en définitive d'une figure quelconque. On ne rencontre pas cette étude dans la cinématique classique, par la raison que celle-ci n'envisage que des solides invariables, tandis qu'il s'agit essentiellement ici de figures déformables.

26. Considérons (fig. 5) le déplacement d'une droite quelconque de longueur finie, depuis une position PQ jusqu'à une

( ! ) Eadem mutata remrgo (Jacques Bernoulli).

autre P'Q', avec changement d'orientation et de grandeur tout a la fois. . 4

Nous allons reconnaître qu'une pa refile transposition peut toujours être effectuée par un mouvement nautiloïde, c'est-a-dire en faisant décrire par P et Q, autour d'un même pôle O, deux angles égaux, en parcourant deux spirales logarithmiques PP', QQ', donées d'un même angle caractéristique a.

L'angle a = POP' dont tournent a la fois les trois côtés du triangle inconnu OPQ pour venir, avec dilatation, occuper l'emplacement OP'Q' nous est immédiatement connu en Fig. 5