RR

cos*X

car la latitude X est la même pour les deux rayons, ainsi que la longitude <d. Il vient donc

£ 2 cos* X

et la transformée Mi aura pour équation ^*cos 2 X

,/ £*cos 2 X \

f\ — Rf • <°' XJ=0.

Nous savons (N° 116) qu'elle représente un sphéro-nautile identique, mais procédant dextrorsum.

La surface podaire M2 nous est connue d'après ce qui précède (N° 164). Représentons la en abrégé par

La transformée réciproque M3 de celle-ci sera de son côté (180)

/£*cos 2 X .A „

et fera connaître l'antipodaire cherchée du sphéro-nautile (179),

§ XXIX Surfaces normopodaires

182. Au lieu d'abaisser du pôle, comme au § XXVII, des perpendiculaires sur les divers plans tangents d'une sphérale

quelconque, menons par ce point un plan perpendiculaire à chacune des normales de cette surface. Nous appellerons normopodaire le lieu géométrique de leurs intersections.

L'une quelconque de ces droites joint le point N (a*, y, z) de la sphérale au point décrivant M (r cos C, r sin 0, zéro) de la directrice. Elle a donc pour équations

X — rcosfl Y — rsinO Z ^ ' x — rcosO y — rsinO z

et le plan qu'on lui mène perpendiculairement par l'origine

(182) (<c-rcosfl)X + (y-rsin9)Y + Z* = 0.

On déterminera les coordonnées X, Y, Z de l'intersection en fonction de x, y, z, 0, en adjoignant à ces trois égalités l'équation de la directrice ainsi que les formules (108), (109) qui représentent la sphérale. Il suffira dès lors, pour avoir l'équation de la normopodaire, d'effectuer l'élimination des cinq paramètres entre ces six relations.

183. Si Ton substitue dans la dernière (184) les valeurs de X, Y déduites des deux précédentes, il vient

(183) [(x - r cos 0) 2 + (y — r sin 0) 2 + * 2 ] Z -\-[(x— r cos 0) cos" + (y — r sin sin 0] rz = .

Or l'équation (106) de la sphère variable réduit à cp 2 le coefficient de Z; et cette même relation développée sous la forme (107)

p 2 — 2r {x cos + y sin 0) + r 2 — cp 2 ,

(en désignant par p le rayon vecteur de l'espace) nous donne pour le coefficient de rz (183)

. pi-rl — ç*

x cos -f V sin — r = — - ±— .

Il vient donc finalement

et par suite

v g( ? 2 + r 2 -p*) + r(cf*--r» + p a )cose

Y __ y (?* + r% — p 2 ) + r Op 3 — r * + p*) sin *

184. Ces formules générales se simplifient lorsqu'il s'agit d'une sphérale équiradiale. Si Ton fait en effet cp = r, il reste seulement

(185) X = *(t— l^+^cose,

Supposons l'équation de la directrice résolue sous la forme ordinaire, et rattachons y l'angle variable

tanfftf=:=7, sina = — ■ . , cos a =

Les équations de la sphérale deviennent de leur côté

R = 2F sin a cos 2 X.

On en

déduit

identiqi

je ment

2RFsin<ï,

a? = R cos a> = R sin (6 + a) , y = R sin <o = R cos (0 + a) ,

d'où, en développant ces expressions trigonométriques

i v n T/ Ksinax . / Rsina\ . ~]

X = R (2 - — Jsinacos0 + ( 1 — Icosasinfl ,

(188)Y = ft[(2-?^)sinasiafl-(l-^)cos«cose],

r~ « -v /- Rsin a\ ^Z = Rtang)^l — J.

185* La longitude o> se trouve par là définitivement chassée de nos formules, et la question se réduit a l'élimination de R, X, entre les quatre relations (187), (188).

Pour y procéder, convertissons les coordonnées rectangulaires X, Y, Z, du point quelconque de la normopodaire en coordonnées mixtes R', a>\ X', que nous distinguons par les accents de celles du point N de la sphérale. Il vient ainsi après réductions

!R , cos(9-(oO = Xcose+Ysine = (2-^^Wsina, / R • R'sin(e-a)') = Xsine -Ycos0 = M- — "— )Rcos«,

ce que l'on peut écrire

(190) R * s J D * -2R + R,COS .( fl - ^ = 0,

R 2 sina u , U'sin(0 — o>') A

F cos a

En retranchant membre à membre, nous obtenons cette valeur * de R en fonction de et des nouvelles coordonnées

091) R - R' P in ( ° ~ ^ ° OS (6 ~ ^ l = R' C ° S - (<? + a ~ m>) . ^ ' L cos a sinfl J sin a cos a

Si d'autre part l'on divise membre à membre les égalités (189), il vient

.. ,. F- Rsin a

. . tang(e-o>) = oot rt . 2F Rsina ,

c'est-à-dire une seconde relation entre K et 6, distincte de la précédente, puisque l'une renferme R' et l'autre F.

En éliminant R entre ces deux formules, nous formerons une résolvante définitive qui ne contiendra plus que 0, et pourra déterminer ce paramètre en fonction de R', o>'. 11 vient ainsi

F[(co Sfl -2ung(6-a>0] = R COS(6 - q> ' + a) et en substituant la valeur (191) de R

(192) R'cos 2 (0 + « — o>')

= F cos a [cos (0 — <o') cos a — 2sin (0 — <o') sin a] .

186- Nous pouvons obtenir, en 0, une seconde résolvante de même nature.

Il vient en effet, d'après la valeur (188) de Z, qui n'a pas encore été employée

^i -vi « % /„ Rsin-a \ R' tang V -= R tang X Il ) ,

c'est-à-dire

R 2 sin a

R + R'tangX'cotX = 0.

d'où, en comparant à l'égalité (190)

/<ft(n . sin(0 — œ')cotX'

(193) cotX = i '- .

7 cos a

Nous aurons en conséquence d'après (187), (191)

R'cos(0 + *a>') . n qp . cot»X

— — R = 2F sin a cos* X = 2F sin a — «-r- ,

sin a cos a r-f- cot* A.

2X R'cos(0 + g — a>')

"~ 2F sin 2 a cos a — R' cos (0 + a — «>') "

Si l'on substitue la valeur (193), on obtient définitivement

/-,wn ^, /« f /x 2F sin* a cos a sin 2 (0 — <o')

(1 94) R' cos (0 + a - a>') = . „ /fl r^- ? - *Vr •

v ■' v ' sin 2 (0 — a>') + cos 2 a tang 2 X'

A-Il # R. 4822

no

Telle est cette seconde résolvante en 6 seul, distincte de la pré* cédente, puisque'elle renferme A.'.

187* A ces deux résolvantes en-0, nous en pouvons adjoindre une troisième, qui n'en sera plus distincte, et ne pourrait que remplacer Tune d'elles; mais qui ' présentera ce caractère intéressant de ne plus renfermer la fonction F, dont la caractéristique aura ainsi disparu en apparence, puisque F' a déjà cessé de jouer un rôle dans nos formules, mais qui, bien entendu, continue d'exercer implicitement son influence par l'intermédiaire de a. Il est donc bon de signaler cette relation, immuable dans sa forme, pour toutes les recherches de normopodaires de sphérales équiradiales quelconques.

Il vient à cet égard, en divisant membre à membre (192) et (194)

(195) 2 sin 2 a sin 2 (0 — to') cos (0 — to' + a)

« [cos — <o' + a] — sin (0 — a>') sin a] [sin 2 (0 — to') + cos 2 a tang 2 X']=0 .

La normopodaire se trouve donc finalement représentée, entre les coordonnées IV, to', X' et le paramètre par les trois équations (192) (194) (195) qui se réduisent au fond à deux, entre lesquelles il suffirait d'éliminer 0, lorsque sera spécifiée l'expression F, qui définit la directrice dans chaque cas (*).