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Surfaces céritoïdes

189- La notion des surfaces nautiloïdes peut sembler, a première vue, comporter une extension, sur la vraie portée de laquelle il ne sera pas inutile de préciser les idées. C'est encore le règne animal qui peut en suggérer la pensée. Les collections paléontologiques présentent en effet, à l'époque tertiaire, et en particulier pour l'étage éocène du calcaire grossier, de nombreux restes du genre cérite (famille des céritidés) dont le représentant le plus remarquable est le cerithium giganteum. C'est un fossile, en forme de cornet, qui montre, dans les grandes lignes de sa structure, les circonvolutions d'une cônhélice, avec amplification progressive de la section génératrice guidée par elle, analogue a celle des nautiloïdes.

On peut donc être porté a voir là une généralisation du mode de description de ces dernières surfaces. Cependant cette manière de voir ne constitue à proprement parler qu'une simple apparence. Il n'y a pas au fond, pour le géomètre, une famille de surfaces céritoïdes essentiellement distincte des nautiloïdes. Nous ne sortons pas en réalité de cette dernière classe.

Ce n'est pas à dire cependant que cette considération doive être écartée sans examen, et sans retenir un instant l'attention. La conception et l'appellation des céritoïdes peuvent rendre certains services. Elles sont de nature (à coup sûr pour l'ar-

liste, et même dans une certaine mesure pour le géomètre), a porter de premier jet plus de clarté dans l'esprit, que la fusion, un peu forcée, des deux classes de surfaces, qu'il nous faut commencer par expliquer.

190. Considérons (fig. 28) dans le plan du premier méridien ( 4 ) le profil C n N , qui engendre un céritoïde en se réduisant sur lui-même vers le pôle, ou s'amplifmnt au contraire dans le sens opposé, autour de son centre de similitude C qui décriune cônhélice, suivant la loi logarithmique envisagée jusqu'ici. Nous obtenons une série de positions de ce point . . . ., C j, C i, Co, Ci, Ca, ...., dans les révolutions successives du méridien mobile.

Rapprochons de cette surface le nautiloïde ordinaire qu'engendrerait, suivant le plan équato-

Fig. 28

rial mené par le sommet O de la cônhélice, une figure C' ti' N' , identique à la précédente, et dont le centre de déformation homothétique C décrit une spirale logarithmique de même loi amplificative.

Substituons maintenant a la génératrice C n' N' de ce nautiloïde auxiliaire la génératrice composite C' C n N formée d'un piédestal C' C surmonté de la figure C 7i N identique a C'qw'qN'q. Ce piédestal se dilatera pour son propre compte dans le même rapport que les dimensions verticales ou horizontales de l'une et l'autre figure, ou encore que le rayon vecteur OC' de la spirale logarithmique. La surface engendrée par le mouvement purement nautiloïde du profil composite à piédestal C' C 7i N ne

(') Il a été expliqué (N° 82) que la génération par une courbe quelconque, plane ou gauche, peut toujours, dans cet ordre de questions, être ramenée a remploi d'un profil-méridien.

différera en rien de celle que produit le mouvement directement cèritdide de la génératrice proposée C n N .

191. Nous pouvons donner à cet aperçu plus de précision, de manière à formuler l'équation générale des surfaces céritoïdes.

Considérons en effet, au bout d'une révolution complète, la section C' o n' N' à son retour dans le premier méridien suivant C'i/i'iN't. Comparons les, en cet instant, avec la situation céritoïde Ci7i|Ni de C n N .

L'ordonnée Nira'i d'un point du céritoïde se compose de N|N'i et de N'in'i. Cette dernière partie constitue l'ordonnée du nautiloïde proprement dit, à savoir (17)

N'm'i = e*A- . y (On't . *- 2A1c ).

Quant au segment NiN'i = CiC'< il est égal à la hauteur initiale A = C / C du piédestal, amplifiée dans le même rapport

NiN'i^À.* 2 ^.

Il vient donc pour l'ordonnée z du céritoïde

z = N 4 n'i = * 2A * [h + Y (R*- 2ATC )] .

Le raisonnement que nous venons de faire pour une révolution entière, afin de mieux utiliser la figure tracée dans le premier méridien, convient évidemment a un angle quelconque de rotation o>. Nous aurons donc comme équation générale du céritoïde, en fonction de la hauteur h que possède le piédestal en traversant, pour a> = 0, le premier méridien