PAP

Il doit d'ailleurs satisfaire aux relations

,«cotga = OF__OQ' OP "

dont le dernier membre nous est également donné. L'angle caractéristique a des spirales se trouve ainsi déterminé.

D'autre part, on voit que le point O appartient nécessairement à deux segments capables de l'angle a, décrits respectivement sur PP' et QQ'. Il se trouve donc lui-même déterminé ( 4 ).

27. Supposons maintenant qu'une figure quelconque se meuve dans son propre plan d'une manière arbitraire, mais sous la condition de rester semblable à elle même; et analysons les circonstances de son déplacement instantané.

Cette figure, quelle qu'elle soit, se trouvera complètement déterminée par une de ses droites PQ. En effet, appelons R un quelconque de ses points. On peut le rattacher a cette droite par un triangle PQR qui devra rester semblable a lui-même,

(*) C'est d'ailleurs sans aucune ambiguïté, bien que deux cercles se coupent en deux points, car ou sait que la seconde se rapporte aux segments capables de l'angle supplémentaire % — a, et non plus a.

et que l'on saura par suite construire en P'Q'R' une fois que l'on counaitra la seconde position P'Q' de- PQ.

Or cette droite peut être amenée en P*Q' par un mouvement nautiloïde d'un certain pôle O et d'un angle caractéristique a. Dès lors, dans le triangle OPR (fig. 5), qui devient OP'R', le rayon vecteur OR tourne jusqu'en OR', du même angle que OP pour venir en OP, puisque l'angle ROP = R'OP'. De plus le rapport de OR a OR' est le même que celui de OP a OP, d'après la similitude de ces triangles. Le point R parvient donc en R' par une spirale de même pôle et de même angle. De là se dégage la conclusion suivante:

Dans le mouvement instantané d'une figure plane qui se déforme en restant semblable à elle-même, les divers points se déplacent le long de spirales logarithmiques égales et de même pôle.

28* Tous les points s'échappent donc simultanément de leurs positions actuelles avec des vitesses proportionnelles a leurs distances au pôle et sous le même angle par rapport a ces rayons vecteurs.

On peut dès lors décomposer ces vitesses suivant le rayon et sa perpendiculaire à l'aide de triangles rectangles semblables entre eux, dont les composantes respectives seront dès lors toutes proportionnelles. En d'autres termes, un mouvement élémentaire de similitude peut toujours être décomposé en deux autres : 1° une rotation sans déformation autour d'un pôle instantané; 2° une déformation homothétique par rapport a ce pôle sans rotation (*).

Si l'on fait connaître la direction des vitesses de deux points, ainsi que le rapport de leurs deux composantes, la valeur de ce dernier fait connaître l'angle caractéristique des spirales. Si alors on trace deux rayons formant cet angle avec les directions des vitesses, ils détermineront par leur intersection le pôle instantané.

Une fois celui-ci connu, l'on en déduira pour tout autre point la direction de sa vitesse, en menant son rayon vecteur et faisant avec lui l'angle en question. Si l'une des deux vitesses est en outre donnée en grandeur, on obtiendra par proportion toutes les autres.

(*) Lorsque la figure reste indéformable, la seconde composante disparait, et Ton retrouve le théorème du centre instantané de rotation de la cinématique classique.

Fig.6

29. Après ce déplacement des points, envisageons celui des droites liées a la figure -, qui est animée d' un mouvement nautiloïde.

Traçons une quelconque des spirales décrites par les points de l'édifice géométrique (fi g. 6). La droite considérée DD' la rencontre en M sous[un certain angle b. Soient r, 6 les coordonnées de ce point, et K, a> celles d'un point quelconque N de la droite. Abaissons la perpendiculaire OP. Pour établir l'équation de DD' nous écrivons

NO . cos NOP = OP = MO . cos MOP ,

NOP = «-[e-(|-*)J-|-(6-«i + *) f

MO . cos MOP =r r sin OMP , et finalement

(14) Rsin(6-œ + *) = * A6 sin*.

La recherche de l'enveloppe de cette droite se fera en éliminant le paramètre 6 entre cette équation et sa dérivée prise par rapport a lui

(15) Rcos(0-œ + *) = A* A6 sin£.

On en déduit

tang (0 — - m -f b) = -r- = tang a ,

= (o + a — b , d'où, en reportant cette valeur dans l'équation (14)

R = iJ££,A(«-»).,A» f ' sina

J&sft^

On y reconnaît une spirale identique à toutes les trajectoires, mais déviée par rapport a celle du point M de l'angle

A = tang«.Log[|^^«-*)]

30. Quant au point de contact X de la droite avec son enveloppe, il est fourni par l'intersection de cette ligne avec sa position infiniment voisine. Ses coordonnées seront donc données par les deux équations (14) et (15). Or nous avons déjà trouvé par leur élimination

et il en résulte

R -r sin * K = r —

sina

On peut même se dispenser de ce calcul en remarquant qu'il suffit de mener par le pôle une droite OX faisant avec DD' l'angle a, puisque cette droite jouera en X le rôle de rayon vecteur, et DD' celui de tangente de la spirale logarithmique.

31. Imaginons maintenant une figure à trois dimensions dont la trace équatoriale se trouve animée dans son plan d'un mouvement nautiloïde. Le déplacement dans l'espace restera gouverné par les propriétés précédentes.

La seule modification dans les énonces (mais elle est essentielle) consiste en ce que les trajectoires des points qui restent homologues, au lieu d'être comme ci-dessus des spirales logarithmiques, deviennent des cônhélices. En effet, pour chacune d'eux l'altitude z s'amplifie dans le même rapport que R, puisque tout l'édifice géométrique conserve sans altération ses divers rapports de dimensions. Il en sera dès lors de même de l'angle que fait cette droite avec l'horizon, a la surface du cône de latitude sur lequel elle se trouve tracée.

Equation des surfaces nautiloïdes

32* On peut, d'une manière générale, ramener au type du nautiloïde a front méridien la surface engendrée par le mouve-

ment nautiloïde d'une ligne quelconque S, plane ou gauche; liée comme édifice géométrique au rayon vecteur d'une spirale logarithmique.

En effet chacun de ses points parcourt dans l'espace une cônhélice, et la surface engendrée se trouve entièrement sillonnée du système de ces trajectoires. Coupons la par un plan méridien, et soit s la section. Lions cette ligne plane au rayon OM et à la courbe S; puis recommençons le mouvement nautiloïde de cet édifice ainsi complété. Les divers points de s devront pour cela décrire des cônhéliccs qui sont complètement déterminées par la spirale directrice, et ne sauraient par suite différer de l'ensemble précédent. La surface nautiloïde sera donc susceptible de ce nouveau mode de génération (s), aussi bien que du premier (S).

33. Or, sous cette forme simplifiée, il nous est facile de former l'équation générale de cette famille de surfaces.

Nous avons en effet trouvé pour une surface quelconque a front méridien (5)

R = F(a>) + <pW/[-y.

Si la directrice est une spirale logarithmique, il vient

Si de plus la surface est vectorielle, nous remplaçons cp par le rayon vecteur

R = » Aw [l+/(w- A «>)].

Mais il devient dès lors inutile de conserver en évidence la trace de la fonction /", et nous pouvons remplacer par <§> le symbole 1 + f de fonction arbitraire, ce qui donne plus simplement

(16) R = (? Au) cJ)(^- A<0 ).

Telle est l'équation d'un nautiloïde quelconque ayant pour génératrice, dans le premier méridien (a> = 0), le profil

R = cM*).

On peut également lui donner une seconde forme, en désignant par *F la fonction inverse de cj>. La méridienne initiale

devient alors

et l'équation de la surface

(17) z = * A(0 Y(R*- Au) ).

34- On sait que les familles classiques de surfaces dont l'équation générale renferme une fonction arbitraire peuvent être caractérisées chacune par une équation différentielle partielle unique du premier ordre. Il nous est aisé de formuler celle des nautiloïdes.

La relation (17) donne, en la différentiant par rapport à R

w — -*">-¥ (IU- Aw ) f iL e- Ao > = *- Au) . V (R*- Au> ) ,

|^ = Y'(R*- A "); et d'autre part, en différentiant relativement à co

*- Au) — - A**- Au) = (- AR*- Aw ) Y' (R^"- Att) ) ,

d'où l'on déduit

Telle est l'équation cherchée ( 4 ).