Il est facile, au moyen du changement de variables, de

f 1 ) Il ne saurait être question d'élever l'objection qu'un changement de coordonnées relevant le plan horizontal, aurait pour enet de modifier le second membre sans changer le premier. Cette analyse suppose en effet essentiellement que le plan de l'équateur passe par les centres de similitude, et se trouve ainsi absolument détermine.

la transcrire dans le système rectangulaire

dx

(x cos a — y sm a) -^ f-(j?sma + y cos #) — = « cos ff ,

On peut également écrire, en introduisant la longitude o>

z sm fcii-hû) =

3z Pz ~

-7T— cos (o> + a) +-r— sin (co + a) *= -tt cos a . 3j? v ' 3v ^ ' R

D'ailleurs les quantités » — -ô— représentent les înver-

l j « Bar z dy

ses -ç-, -ç- des sous-tangentes des sections faites par des plans

parallèles aux plans verticaux de coordonnées. Nous écrirons donc

cos (o) + a) sin (<o + a) __ cos a

S X Sy R

Associons (fig. 7) au plan méridien ZOn du point N de la surface, la seconde face ZOA d'un dièdre immuable a, et prenons sa trace équatoriale OA comme axe de projections. Cette dernière relation s'interprète alors de la manière suivante:

Dans toute surface nautiloïde, la projection sur Taxe ainsi défini de l'inverse du rayon vecteur On est la somme des projections des inverses des sous-tangentes des sections faites par deux plans méridiens rectangulaires quelconques ( 4 ).

Mentionnons encore une autre interprétation de l'équation différentielle partielle. La droite BC qui joint les extrémités des sous-tangentes nB, nC n'est autre que la trace du plan tangent en N, qui doit contenir toutes les tangentes a la surface. En

Fig. 7

(!) Car on peut toujours adopter des plans coordonnés qui leur soient parallèles.

appelant <p l'angle que fait cette droite avec la partie positive, de Taxe des abscisses, et h la hanteur nH du triangle nBC, nous aurons

S X = — î » by =

cm *i *

sin cp ' cos cp

d'où par conséquent

cos (co -f «) sin cp — sin (o> -f a) cos cp =-^- cos a ,

cos a sin [cp — (co + a)] sin (ADX — AOX) sin OAD Menons par n la parallèle nE a Taxe OA, il nous viendra

On . nH

■ ■ ■ BBS —j .

cosnOA sinnEA

ou enfin, en élevant en n la perpendiculaire n¥ au rayon vecteur

OF = nE .

De la cet énoncé:

La portion de l'axe OA qui se projette orthogonalement sur le rayon vecteur On est égale a la distance de ce point n a la trace du plan tangent en N comptée parallèlement a cet axe OA.

36. On envisage d'ordinaire, pour les familles de surfaces, deux problèmes généraux, qui consistent a faire passer une surface de cette catégorie par une courbe donnée ou a en circonscrire une a une surface assignée. Nous pouvons tracer la marche propre à résoudre ces questions en ce qui concerne les (» itiloïdes.

Pour la première, nous commencerons par ramener les équations de la courbe donnée a la forme

z = F,(R), R = F 2 (co).

La première est celle de la surface de révolution qu'elle décrirait en tournant autour de l'axe zénithal; la seconde celle du cylindre qui la projette sur le plan équatoriai.

En substituant ces valeurs dans l'équation générale des naulihmles (l6 /t il vient

Fi (co) =- * Aw cj> Î*- A(0 . V { [Fi (co)] j .

SI

Envisageons comme une variable auxiliaire \i la quantité subordonné à la fonction inconnue <^>

|i = *- Aa, F 4 [F 2 («>)],

et résolvons cette relation sous la forme

a) = F 3 (|i) , il viendra

ce qui détermine la fonction qui permettra d'écrire l'équation du nautiloïde.

37. Proposons nous en second lieu de circonscrire un nautiloïde a la surface

En leurs divers points de contact, les coefficients différentiels -«- , -rr— seront les mêmes pour toutes les deux.; Or, sur la proposée, ils prennent les valeurs

aF 4 en

dz __ 6R 3« ___ 9(o

dz dz

Pour le nautiloïde, ils doivent satisfaire à l'équation différentielle partielle (18), qui deviendra* par cette substitution

Nous obtiendrons ainsi, en joignant cette égalité a la formule (19), les deux équations de la courbe de contact.

11 suffit dès lors de la prendre comme directrice pour rentrer dans les conditions du problème précédent (N° 36).

S vi

Plan tangent

38* Revenons maintenant aux surfaces a front générateur de directrice et de génératrice quelconques, en les supposant encore vectorielles et d'inclinaison frontale constante, pour nous proposer la recherche de leur plan tangent. Nous le considérerons comme déterminé par la tangente de la ligne de latitude constante, et par celle de la génératrice. Envisageons successivement ces deux droites.

Je rappelle (N° 8) que, dans ces conditions, la ligne de latitude a pour projection équ a tonale une courbe semblable à la

directrice. Le rayon vecteur R=.On de cette projection (fig. 8) reste donc proportionnel à r = OM, et la tangente nt fait avec lui un angle Ont = OMT.

Nous savons d'après cela construire en nt la projection de la tangente de la ligne de latitude.

Nous en pouvons également déterminer la trace £, c'est-a-dire la sous-tangente S «= nt. En effet l'altitude z de N devient z-\-dz par un mouvement élémentaire amenant ce point en N'. En même temps r et R acquièrent les valeurs r-\-dr y R-j-rfR.

Fig. 8

Pour assurer la similitude d'ensemble, ces divers accroissements doivent se régler conformément aux proportions

dz dr dR

Or la sous-tangente S est donnée par la relation

nn ~dï

Maïs on a d'un autre côté

nri R

dx z

MM' r '

dr r

et par conséquent