T MM

r dr Il vient donc

Or il nous suffit d'élever en O la perpendiculaire Ot sur lç rayon vecteur On de la projection n pour constituer en Ont un triangle semblable a OMT. C'est par conséquent la longueur nt ainsi interceptée sur la tangente qui mesurera la sous-tangente S, et fournira en t la trace de la tangente à la trajectoire de N dans l'espace ( 4 ).

Indépendamment de cette construction géométrique, nous possédons également (20) l'expression analytique de cette sous tangente sous la forme

39. Si l'on veut déterminer le lieu géométrique de ces traces t pour une cônhélice, il suffit de remarquer que le rayon vecteur Ot reste proportionne] a R, et par suite a z; qu'en outre il est séparé de ce dernier par l'angle constant MO»

( 1 ) Remarquons à cette occasion que cette construction des angles OMT, Ont, tous égaux entre eux pour les divers points n du front FF' est bien conforme à la loi trouvée ci-dessus (N° 29) pour le mouvement instantané d'une figure qui reste semblable à elle-même.

augmenté d'un quadrant. Ce lieu est donc semblable à la directrice.

On peut exprimer autrement ce résultat. Concevons en effet les surfaces développables qui ont pour arêtes de rebroussement les diverses lignes de latitude et sont formées par l'ensemble des tangentes de chacune d'elles. Ces surfaces auront toutes, d'après ce qui précède, leur trace équatoriale semblable a la directrice.

40* Envisageons en second lieu la tangente Ni' de la génératrice. Elle doit, au point de vue graphique, être considérée comme directement connue.

Nous en possédons en outre le détermination analytique, d'après le valeur S' de la sous- tangente nt 1 qu'elle intercepte sur la trace du plan de front. Elle est fournie par la proportion

z dz

Si donc nous différentions l'équation (I) de la génératrice entre £ et z. en considérant et r comme des paramètres constants, Ton pourra écrire

(22) S'-^'It)-

41* La trace du plan tangent s'obtient en joignant celles des deux tangentes précédentes, c'ast-a-dire en tirant it 1 . La figure (8) devient ainsi, à proprement parler, une épure, très élémentaire, de géométrie descriptive, ayant pour ligne de terre la trace du front FF'. Le plan tangent s'y trouve représenté, suivant le mode ordinaire, par ses deux traces t ] t et /'N.

La normale le sera de son coté par les perpendiculaires wB, NC abaissées des projections N, n du point de contact sur les traces du plan.

Nous pouvons exprimer analytiquement les angles A, v compris entre les traces horizontale et verticale du plan tangent et celle du front; ainsi que les dièdres H, V que forme ce dernier avec les plans de l'équateur et du front.

On a en premier lieu dans le triangle Nw^

z tang v = —

Il vient ensuite dans le triangle ntt' sin nt't sin ntt'

nt ni 1

c' est-a-dire

S sin h = -^ sin (Mni — h) .

Or on peut écrire

et par conséquent

S sin h = -^ cos (0 — a> + A) ,

-ç- sin h = cos (9 — o>) cos h — sin (9 — o>) sin À .

Mais d'ailleurs

sin (9 — (o) sin OMn Mra O»

p sin (6 — (o) = -— sin a .

Nous avons don» en définitive

sm 1 »

tangA s = S'R+SÇsin, *

S-+R 8,nï

Quant aux angles dièdres, il nous vient par les formules d» la trigonométrie sphérique appliquées au trièdre rectangle t'nNt

tangH^ "ff* , tangV=^ ta . ng .

sinA ° sint>

On peut d'ailleurs obtenir cette même détermination d'après les triangles rectangles de l'espace DnE, NnB.

42. Ces diverses formules étant homogènes par rapport a des quantités qui restent elles-mêmes proportionnelles le long d'une même trajectoire de latitude constante, on voit que les quatre angles ainsi déterminés restent de leur coté invariables sur ce parcours.

Remarquons notamment que le plan tangent conservant une inclinaison constante sur l'horizon, enveloppe le long de cette trajectoire une surface-talus, telle que les contreforts géologiques que dessinent les anciens éboulis sur le flanc des montagnes.

43. Si l'on se donne directement les uns ou les autres des quatre angles A, v, H, V, on pourra constituer ainsi différents modes de détermination du plan tangent d'après ces diverses données. Nous possédons leurs valeurs en fonction de S, S 7 , Ç, R. z. Mais nous avons d'ailleurs en fonction de celles (21), (22), de S, S', ainsi que (1) de Ç.

Or nous pouvons déterminer, pour un point N(R, o>, X) de la surface, le point M (r, 0) de la directrice par lequel passe le plan de front de N. En d'autres termes, nous avons a évaluer en fonction de R, o>, X.

Le triangle MO/i nous donne a cet effet

sin MOra sin OMn

Mn On

sin t sin î / z \

et par conséquent:

R.m(«-.)-8ini.F(»)/[^],

équation a résoudre dans chaque cas par rapport a 6, lorsque seront spécifiées les fonctions F et f.

44. Nous pouvons finalement représenter le plan tangent par son équation en coordonnées rectangulaires X, Y, Z. Nous le considérerons a cet effet comme déterminé par les trois points N, *, t l .

J'appelle j?i, y\\ x %y y 2 les coordonnées de ces deux traces dans le plan équatorial. Le droite tt' aura pour équation

(Y — yi) ^ 2 ~^i) = (X — Xi){y z — yi).

Celle du plan lui-même sera donc de la fortne

( Y - VU (** — *0 — (X — Jri) (y, — yi) = mZ ,

et le coefficient inconnu m se déterminera en obligeant ce plan à passer par N, ce qui donne

(y— yOte— •*«) — ( x ~ ^0(^2 — yd=™*-

En divisant membre à membre, nous obtiendrons donc l'équation du plan tangent. Il suffit par conséquent de connaître les quatre coordonnées j?i, yi; x 2 , y 2 .

On a pour le point t

Xi = 0/ cos tOk = On tang Ont sin nOA ,

yi = Ot sin tOk = On tang Ont cos nOA . ,

.■ ' * Mais l'angle Ont que comprennent la tangente et le rayon ve-

cteur est le même pour les deux courbes semblables (n) et (M)

(N° 8). Il vient donc

tangOn£ = -— -,

et par conséquent

J?i=Rp r sina)-p r y î y t = R — cos <o==-^#. . .,

Nous avons d'autre part en ce qui concerne le point t l '' 'V-f

x 2 = Rcos (o + S' cos (6 — i) = x + s/"' ( — j cos (6 — i) , • y 2 = R sin a) + S 7 sin (6 — i) = y -{- zf l — j sin (0 — i) .

On remplacera 9 ainsi qu'il vient d'être dit (N° 43), et Pbk* aura, entre les coordonnées X, Y, Z, l'équation du plan tangent au point (x, y, z).

45. Cette théorie convient en particulier a la famille des nau~< tiloïdes de génératrice quelconque, II s'opère alors" quelques* simplifications.

Les projections des trajectoires, que nous savons être tini^

jours semblables à la directrice, lui deviennent maintenant égales, avec des déviations variées. La sous-tangente de cette cônhélice est alors égale a l'arc de la spirale logarithmique qui en est la projection, compté a partir du pôle. Les traces des surfaces-talus circonscrites au nautiloïde suivant ses cônhélices sont elles-mêmes des spirales logarithmiques égales mais déviées.

§ vu

Nautile à front normal

46* Le nautile que nous avons étudié en détail (§ III), présente sa section circulaire dans le plan méridien. Pour obtenir un type convenablement rapproché du genre Naulilus, tel que nous l'offre la conchyliologie, cette solution peut avoir quelque intérêt si l'angle a est suffisamment voisin du quadrant, c'est-àdire la spirale logarithmique assez lente. Mais à coup sûr l'assimilation échouerait avec une directrice rapide. Cette première solution reste donc entachée d'une certaine insuffisance.

Pour nous en affrauchir nettement, nous substituerons a la condition du front méridien (j = 0) celle du front normal

Dans ce but, noas commencerons par reprendre, avec cette nouvelle détermination de t, une entière généralité, c'est-a-dire une directrice F, une génératrice /*, et une loi de similitude <p arbitraires.