I.IVRIS PREMIER
terme xm— 1 est la somme « -f-a -+• .... -f-tf, n des lettres rtj} . . . . a j celui du troisième terme •r™ est la somme des
produits 2 à 2 de ces lettres , etc. Celui du terme qui a n termes devant lui, est la somme des produits « à n de ces mêmes lettres; enfin le dernier terme, comme on l’a dit, est le produit de toutes ces lettres.
Remarque 1. Après avoir prouvé que .rm— n est multiplié par cr , ax .... «n, on peut ajouter que le produit AB étant symétrique par rapport à a , a , ... . am pris 2 à 2, doit contenir tous les termes différents que l’on obtient en remplaçant dans aa% .... anxm— 11 , une, 2,3, etc. , des lettres at,a^ . . . . an par d’autres , «0+î, etc. . . . «m, ce qui prouve encore que xm— " est multiplié par la somme des produits n à m des letlreSfl, «,„•
Remarque 2. Représentons par Sn la somme des produits nkn des lettres at , ... . am, et nous aurons
=jrm+Sixm-1-|-S2xm-2-)-. . . -(-Sn^m-n— (- (Sm.
Définition 18. Diviser une quantité par une autre, c’est en chercher une troisième nommée quotient , qui , multipliée par la seconde, nommée diviseur, reproduise la premjère, nommée dividende, quelles que soient les valeurs des lettres qui entrent dans ces quantités.
Définition 19. Une quantité est dite entière si elle est débarrassée de tout signe de division , telle est 4a, bb — 3c, etc.; mais
j, la : b ne sont pas entiers; ce sont des fractions algébriques
dont les deux termes peuvent être eux-mêmes des nombres fractionnaires ou même incommensurables , et sur les propriétés desquelles il est nécessaire d’insister ici.
PROPOSITION XIII. — THÉORÈME
1« On peut multiplier ou diviser par un même nombre les deux termes d’une fraction. 2° La somme ou la différence de deux fractions de même dénominateur est une fraction qui a pour nu-
l8 ALGEBRE.
mèraleur la somme ou la différence des numérateurs , et pour dénominateur celui des deux fractions. 3" Le produit de deuxfractions est égal au produit des numérateurs divisé par le produit des dénominateurs. 4° Le quotient de deux fractions est égal au dividende multiplié par le diviseur renversé.
, .. a am
1° Je dis que — .
b bm
Car- étant le quotient de a par b, on a , par définition,
donc
-Xb~a;
7 xbm ~ am.
Donc - est aussi le quotient de am par bm (déf. 18), et
a am b bm
D’après cela , on réduira au même dénominateur les fractions algébriques comme les fractions arithmétiques.
„ . a c . , fl+c
2° Soit ! Je dis 4ue ‘a somme est — — .
Car le produit de par b est fxb-\--xb , ou , par défini-
Cl c
tion 18, fl-f-c; donc est le quotient de a+c par b, ou est , , , u-f-c
égal a —j~.
De meme 7 — .= — — .
„ , .. a c ac
3° Je dis que -x-j =
a d bd
Car ff(.b = a, -jxd = c; donc -xbx-jxd — ac.
ou
a c .J -X-£<bd=ac.
LIVI\E PREMIER.
Donc -X-^ est le quotient de ne par bd, c’est-à-dire est égal
etc
bd
4° Enfin ^ ^ est égal à Car si l’on multiplie — par le
diviseur on trouve —— ou y, ce qui est le dividende. Donc a bed b
eid
est le quotient.
PROPOSITION XIV. — THÉORÈME
Pour que le quotient de deux monômes soit entier, il faut et il suffit 1° que le coefficient du dividende soit divisible par celui du diviseur ; 2° que le diviseur ne contienne aucune lettre qui ne se trouve dans le dividende; 3° que l’exposant d’une lettre quelconque du dividende soit au plus égal à celui qu’elle a dans le diviseur. :
Soit pour dividende 56 «653c2 et pour diviseur 8 «453. Le quotient doit être tel que , multiplié par le diviseur, il reproduise le dividende; il faut donc (p. 7) que le coefficient du quotient, multiplié par 8 , reproduise 56 , ce qui exige que ce dernier soit divisible par 8; si cela n’était pas, le coefficient du quotient serait fractionnaire : ici il est 7. En second lieu , il faut que la lettre a se trouve au quotient avec un exposant qui, ajouté à l’exposant 4 qu’elle a au diviseur, donne 6, exposant dont elle est affectée au dividende; ainsi on trouvera l’exposant de a au quotient en retranchant l’exposant qui affecte «au diviseur, de celui qui affecte celte lettre au dividende, ce qui exige que ce dernier exposant soit au moins égal à l’autre. Le quotient contiendra donc a2. Quant à b3 qui se trouve au dividende et au diviseur, il ne donnera rien au quotient, sans quoi ce quotient, multiplié par le diviseur qui contient b3, ne donnerait pas b3 au dividende. Enfin le dividende contenant c2 et le diviseur ne renfermant pas du tout la lettrée, le quotient contiendra c2, par les raisons déjà développées.
On voit que si le diviseur contenait une lettre d qui n’est pas
ALGkBRK.
au dividende, le quotient 11e saurait être entier : car si le quotient supposé entier contient ou ne contient pas d, multiplié par le diviseur qui contient. d, il donne un produit qui contient aussi d et qui, par conséquent, ne saurait être identique avec le dividende.
Corollaire. Les raisonnements ci-dessus prouvent en môme temps que pour avoir le quotient, il faut diviser le coefficient du dividende par celui du diviseur, retrancher l’exposant de chaque lettre dans le 'diviseur, de celui de la même lettre dans le dividende , et laisser intactes les lettres quLsont au dividende et ne sont pas au diviseur.
D’après cela 72a964e2d3 : 12 a3b3c3 — Ga1bd3 ;
1 4 4a‘ W : 1 8 a1064e = 8«7ôe2.
am : a — am— 1 ; am : am— 3 = nm— m-t-3 — a3 ;
am : «m— ■” — "H-n — ané
m, n étant des nombres entiers absolus.
Remarque 1. Si l’on divise a3 par lui-même, ou am par luimême , on a pour quotient 1. D’un autre côté, la règle des exposants, appliquée à ce cas, donne am : am=za'n~m =a0. Ainsi rien n’empêche d’employer dans le calcul le symbole a°, pourvu qu’on le regarde comme représentant l’unité. Cet exposant zéro est assujetti aux mêmes règles que les autres exposants : ainsi «mXa° =: = am, vu que a0 = 1 ; de même am : — °=am.
Remarque 2. Dans le cas où le quotient de deux monômes n’est pas entier, on le représente par une fraction qui peut quel-
quefois se simplifier. Ainsi ai : a7= — ; divisant lés deux termes
para1, on a Or, on cstconvenu de représenter par a-3 (a
exposant moins 3). Celle convention dérive de la règle des expo-
sants : si dans est plus petit que m, il est démontré que
ce quotient = «m "P; or, on est convenu d’écrire dans tous les cas nm
— —am— r et de faire entre m et p la réduction, comme on la ni’
fait entre les coefficients des termes semblables des polynômes,
de sorte quel on a aussi -= — a*— ‘ — a- •*; — — — -
1 n7 uh a'
