LIVRE PREMIER

Les exposants négatifs sont très-utiles dans le calcul : si par convention , et par analogie avec ce qui est démontré p. 2 et 3 , par ajouter des exposants , on entend qu’il faut les écrire à la suite l’un de l’autre avec leurs signes , si de même , par retrancher un exposant d’un autre, on entend qu’on écrit le premier, changé de signe, à la suite de celui dont on retranche, que de plus on réduise ces exposants entre eux comme les termes semblables (p. l),on peut démontrer la

PROPOSITION XV. — THÉORÈME

Dans la multiplication , les exposants des lettres communes s’ajoutent , que ces exposants soient positifs ou négatifs ; dans la division , l’exposant du diviseur se retranche de l’exposant de la même lettre au dividende.

Le cas où les deux exposants sont positifs est prouvé.

Multiplication. 1“ rt5Xrt-3; par définition a— 3 ;

donc 3 = a5X -r — —— a5— 3 = à2,

Donc les exposants 5 et — 3 s’ajoutent.

2° aày.a-i = a5x— . = — = 1 ou encore = a5—hxau.

la4 1

3° rt4Xa-T= a4X-^ = — simplifiant, on a -s ou a-3 ou a4— 7 a7 a7 as

4“ a 2Xa— 3 = 4x4 = — , ou xz a-ù = a-3— 2 a 1 as

Ainsi dans tous les cas les exposants des deux facteurs s’ajoutent.

Division. 1° a5 : a— 3 = a5 : -5 — «5X«3 = a5-*-3 ; donc l’export3

sant — 3 a été écrit à la suite de 5, avec un signe contraire.

I 1 rt4

2°rt"6:fl— 4— — : — = — ,=«-2ou=:«-6-t-4: même remarque.

3° «-3 ; «— 8 = rt5 ou =: «~3+8; idem.

rt3 rt* rt3

ALGÈBRE

4° a -3 : ax = —„X~ -, = —. = a— 7 — a 3—4 ; même remarque* a3 à4 a7 n

5° a— 2 : <z-2 = i : — — 1 — a0 — a~ 2+2; idem.

Les différents cas de la multiplication sont représentés par les formules

amY.a-v — am~V ; a—mXa - P ~<i ,n P.

Pour la division , ce sont les trois formules suivantes :

am : a- P — a—m : aP = a-'"— P; a m : a- P = a - “+p.

Remarque générale sur tout ce qui précède. Les symboles négatifs jouent en algèbre un rôle important, et ce rôle n’est pas borné à la théorie des exposants.

Par rapport à ces symboles , combinés soit entre eux , soit avec les nombres positifs, on a adopté, comme dans la proposition 15, le langage de convention que voici :

1 "Àj outer entre eux des nombres positifs ou négatifs, c’est les écrire à la suite l’un de l’autre avec leurs signes respectifs. On voit que l’addition arithmétique est un cas particulier de cette combinaison dénombrés et de signes que l’on appelleici addition.

D’après cette convention -+-7 ajouté à — 5, c’est-à-dire -|-7 -+- (• — 5) donne +7 — 5, ou par réduction 2; de même -4-4-+- ( — 6) donne — 6 ou —2; enfin — 5-+-( — 2) donne

— 5 — 2 , ou — 7. Car dans tous les cas on réduit comme dans les polynômes à valeur absolue.

2° Soustraire un nombre positif ou négatif d’un autre , c’est écrire celui-là, changé de signe, à la suite de celui-ci. Ainsi -4-4 — ( — 3) donne —(—4— (—3 ou 7 ; de même — 7 — (-+—2) donne — 7 — 2 ou — 9. Ces deux opérations, addition et soustraction algébriques, jouissent donc d’une propriété qui leur est commune avec les opérations arithmétiques : c’est que le reste ajouté à l’expression soustractive reproduit l’expression d’où l’on a soustrait.

3° La multiplication des monômes positifs ou négatifs consiste à opérer sur ces monômes comme s’ils faisaient partie de polynômes à valeur absolue qui seraient à multiplier l’un par l’autre. De cette manière , on a donc

Toutes ces combinaisons de signes et de nombres s’appellent

LIYBK PREMIER.

des opérations algébriques ; elles n’ont pas la même signification que les opérations arithmétiques dont on leur a donné les noms respectifs à cause de l’analogie qui existe entre celles-ci et celles-là.

Ces conventions posées, il reste à montrer que les polynômes qui ne présentent point des valeurs absolues et dans lesquels les lettres mêmes n’ont pas de pareilles valeurs, doivent être,*dans les opérations algébriques , soumis aux mêmes règles que les polynômes syr lesquels on a raisonné prop. 2 , 3, 4.

PROPOSITION XVI. — THÉORÈME

Si dans l’addition, la soustraction et la multiplication des polynômes on observe les règles démontrées pour le cas où ces polynômes ont des valeurs absolues (p. 2, 3, 4), quelles que soient les valeurs absolues des lettres qui y entrent , il arrivera toujours que : 1° la valeur de la somme algébrique sera égale à la somme des valeurs des polynômes ; -2° la valeur de la différence de deux polynômes sera égale à la différence des valeurs de ces polynômes ; 3° la valeur du produit sera égale au produit des valeurs.

1° Soieirt o-f-A — c, a'-\~b‘ — c‘ , deux polynômes; je dis qiic (a-\-b — — c‘ ) est égal à «+ A — c-f-a '~J~A ‘ — c' quelles que soient les valeurs absolues des monômes a, b, c, a‘ A', c‘. En effet, pour avoir la valeur de, (a-{-A — cj-\-(a‘-{-b‘ — c') il faut calculer celle dé a-f-A — c, et celle de o'-t-A ' — c' séparément, et les ajouter. On supposera que c' surpasse n'-f-b' de d, de sorte que cJ=.a'-Jrb'-{-'d ; la valeur de a'-f-A' — c‘ sera' par convention — d, et cette valeur, ajoutée à a-f-A — c, donne a-\-b — c — d, ou ce qui revient au même- a-f-A — c-f-a'-f-A' — a1 — A' — d , puisqu’on peut" changer l’ordre des termes à volonté. Mais il est évident que retrancher algébriquement a', A' et d revient à retrancher a'-f-A'-f-d ou c‘ ; donc le résultat se réduit à a-yb— c-j-a'-j-b’— c'. •••■.

2® Pour la soustraction, le reste ajôuté au polynôme retranché devant donner l’autre, il est évident que (a-l-A — c) — (a'-\-b‘ — c')=«-f-A — c — a' — A'-l-c'; car si à ce reste on ajoute n'-l-fc' — e', on retrouve a-f-A — c. .. . ■ ‘ * ' .

ALGEBRE.

3° Je dis que («4-ô) ( c — d)=ac-\-bc — ad — bd, même si e<^d. En effet, changeons les signes de c — d, c’est-à-dire multiplions a4-ô par d — c ; les deux facteurs ayant des valeurs absolues, on a (a-f-ô) (d — c)—ad-\-bd — ac—bc. Mais ce résultat est égal et de signe contraire à ac-{-bc — ad— bd. Le produit des valeurs de a-\-b et d — c est d’ailleurs aussi égal et de signç contraire à (a+6) (c — d); car, par exemple, 7X — 3 est égal et de signe contraireà 7x3, puisque , par convention , 7x — 3=z — 2 1 . Donc le produit (a4-ô) (c — d) ainsi que ac-\-bc — ad — bd, est égal et de signe contraire à (a-f-A) (d — c). Donc les expressions (a+6) ( c — d) et ac-\-bc — ad — bd sont égales.

S’il s’agit de (a — b) (c — d) on raisonne de même, et si a est aussi b, on change les signes des deux facteurs, ce qui ne change pas le produit, vu que — 4x — 6 donne, par convention , 4-20, comme4-4x4-6.

PROPOSITION XVII. — THÉORÈME

La proposition précédente est encore vraie si l’on remplace les lettres par des nombres négatifs. '

En effet, si l’on considère plusieurs polynômes renfermant des lettres x, y, z... et que l’on donne à chacune de ces lettres une valeur, soit positive, soit négative,' en vertu des conventions ci-dessus, chaque monôme tel que 7 x’y’s prendra ung valeur. positive ou négative ; par conséquent chaque polynôme se réduira à une forme telle que a-f-ô— c4-.. ; et d’après prop. 16, si l’on écrit ces polynômes à la suite" l’un de l’autre en conservant à chaque terme le signe qu’il a , ou est censé avoir , on obtiendra un résultât identique avec la somme des valeurs des polynômes proposés , quelles que soient les valeurs de a, b, c... ,

c’est-à-dire quelles que soient les valeurs de x , y, z Même

raisonnement pour la soustraction.

Pour la multiplication, comme il est déjà prouvé que, quelles que soient les valeurs de a, b, c, d,e,f, etc., on a

. "... (a-\-b—c)(d-he—f) =

■ ’ad-{-bd — cd-\-ae-\-be — ce—af—ff+cf,