I.IVnK PREMIER. l

l’on y change a en b et réciproquement, ils ne changent pas, a

tandis que - , a — b , cfi-{-b ne sont pas symétriques.

PROPOSITION XII. — .PROBLÈME

Trouver le produit de m binômes x-\-&i ar-f-n3, .. . .

æt— (— «m , sans faire la multiplication.

Chacun des facteurs de ce produit étant homogène du premier degré, le produit sera homogène du degré m. Le premier terme du produit ordonné par rapport à x , sera le produit des. premiers termes des facteurs (p. 9) ; or le premier terme de chaque facteur est x , le nombre des facteurs est m ; donc le premier terme du produit est xm.

Pour trouver le second terme du produit, isolons le facteur ar-f -ai; le produit des m — 1 facteurs restants (x -+-«2) ^tv-|-a3J

.... aura pour premiér terme xm— *, et si on le multiplie par le second terme du facteur on trouve ai a;™—1,

qui fera ainsi partie du produit cherché, mais ne s’y trouvera qu’une fois. En effet, au produit Lr-f-aa^ .... le terme arm— 1 ne se trouve qu’une fois , et ne s’y trouve pas. Si donc on multiplie ce produit par on ne saurait trouver et si on le multiplie par at , il n’y a que le terme xm— 1 qui puisse donner a a?™—1. Donc le produit total ne contient qu’une fois aixm—' *. Mais on peut raisonner sur chacun des facteurs x-\-a , x-\-a^ x-\-am , comme on a fait sur x-\-a ; donc le produit contient les termes a a,xm—x. . . . , amxm—i

chacun une fois ; ainsi il contient la somme ^«i-(-a2+aj-+- .... — K*m) ,rm— ’. Il ne saurait d’ailleurs renfermer aucun autre terme en a?m— *; car , puisqu’il est homogène du degré m, xm— 1 devrait nécesairement être multiplié par un facteur du premier.degré, qui ne saurait être que l’une des quantités a , a^. . ., »et on a vu que chaque terme a arm—1, a^xm— 1 , etc. , ne se trouve qu’une fois au produit.

ALGEBRE.

En général , considérons dans notre produit un nombre quelconque de facteurs x-|-<j , x-\ -a^ .... x-j-«n , n étant moindre que m, ou an plus égal à m; les facteurs restants x-M ,, x-f-an+a .... x-j -am seront au nombre de m — n. Représentons par A le produit des n premiers facteurs ^x-f-o,) , etc

et par B celui des m — n derniers, le produit total sera A.B.

Le dernier terme de A est le produit des derniers termes de ses facteurs (p. 9), c’est-à-dire aa^ . . . ,aa; le premier terme de B est xm-n, puisque chacun des m — n facteurs de B a pour premier terme x. Donc le produit contiendra le terme a%ati. ..anxm ", et je dis qu’il ne le contient qu’une fois.CarAne

contient a a^...an qu’une fois, de sorte qu’aucun autre terme de

A ne contient tous ces facteurs af , aa . . . an; mais B ne contient

aucune des quantités at,aa • . . . «n; donc, dans la multiplication de B par un terme quelconque de A , autre que le dernier, on ne saurait retrouver un terme qui les contienne toutes. D’ailleurs, comme B ne contient xm— " qu’une fois, le produit de B par ai<ia .... an, dernier terme de A, ne donnera qu’une fois

a a .... a xm— ".

En isolant de même n quelconques des m facteurs du produit total , on prouvera que xm -n est multiplié une fois par chacun des produits des termes a, , a} , . . . am , pris n à n, et comme le produit total est homogène du degré m, on conclura que xm— " n’est multiplié par aucune autre quantité.

Donc n étant un nombre entier qui peut être 1,2, 3, .... m, il est prouvé que notre produit contient xm— " multiplié par la somme des produits n à n des lettres ni , , . . . . am. En Suppo-

sant successivement n=l‘, 2 , 3 .... m, on saura donc :

1® Que dans ce produit les exposants de x sont m, m — 1 , m — 2 .... etc., c’est-à-dire qu’ils vont en diminuant d’une unité à partir du premier terme, qui est xm, jusqu’au dernier terme, qui ne renferme pas x, comme étant le produit des derniers termes a , a .... a des facteurs.

2° Que le coefficient du premier tèrme est 1 ; celui du second