I.IVRE II

aog

3% a = b, ou m = n;x‘ se réduit à et <r" à On conçoit

en effet que, les deux lumières ayant la même intensité, il doit y avoir au milieu de AB un point également éclairé. Tout autre point de AB prolongé, étant plus près de l’un des deux points A , B, que de l’autre, ne saurait être également éclairé; cependant en un point C' la différence "des intensités des lumières est

® « mi a(d* — 2 dx) a f d1 n \

quantité d’autant plus petite que x ou AC est plus grand, et qui devient nulle si x — s© . C’est pour cela que x " est oo .

4° d — 0, et a — b. Ici x • devient nul et

devient -. Dans

ce cas les deux lumières sont de même intensité et se trouvent au même point.Ainsi tout pointde l’espace sera également éclairé par les deux lumières; il y a donc en effet indétermination.

5° d = 0 et b. Ici x‘ et x“ sont nuis. En effet, d’après le

principe de physique sur lequel la solution repose, au point même où une lumière est placée, son intensité est infinie.

6° A = 0 ou re=0. Lel deux valeurs de a: deviennent égales entre elles et à d. Cependant il est bien évident que le point B ne saurait être également éclairé par les deux lumières. Mais c’est

que l’équation du problème n’est plus ~ = ; puisque

l’intensité de la lumière B est nulle, l’équation du problème est

— = 0 ; or , en transformant l’équation (1) en a(d—x') — bx\

on a raisonné comme si x devait être fini : au contraire, l’équation ^ = 0 montre que ar ne peut être qu’infini. Ainsi cette

transformation a fait disparaître la bonne solution pour la rem placer par une mauvaise. A ce propos nous ferons observer que cette solution at = «se présente quelquefois dans des équations

ai.gV.rhe.

où x entre en dénominateur. Telle est l’équation - ,

qui, après la disparution des dénominateurs, donne æ=3, et qui , sous sa forme actuelle , est aussi satisfaite par x = °o , ce qui ne contredit aucun des résultats démontrés précédemment.

PROPOSITION XXXIV. — PROBLÈME

Discuter les particularités qu’offrent les racines de l’équation ax’+bx+c — 0.

Au lieu de déduire les racines de cette équation de celles de x’-^-px-^q — 0, on peut aussi les trouver directement. En effet, on a ax%-{-bx — — c.

Extrayant la racine carrée de ax’-+-bx , on trouve (1. 1, p. 51)

x'/ a—\— i avec un reste égal à — — ; donc pour faire de

ax’-\-bx un carré, il suffit de lui ajouter ; l’équation précédente étant donc mise sous la forme

b% b * A1 — 4ac

ax, + bX ^

on extraira la racine carrée , et il vient

b \/ b* — 4ac

xl^a-

d’où

Enfin

ïV'a

b* — 4ac

2 \Z~aVa tyaVa

— b+y^ b’ — 4ac 2 a

Comme pour trouver ces valeurs , on a dû diviser une équation par V a , il s’ensuit que , à priori, leur exactitude est subordonnée à l’hypothèse que a n’est pas nul. Si l’on y fait a=rO, elles pren-