LIVRE II

l’intensité de B à la distance d — x est -7-= t-* Ainsi l’équation

du problème est (l-) — — - . ^

Soient m , n , les valeurs aritbméthiqucs des racines carrées de a et b, cette équation devient

m’(d — x)1 — rCx*

Extrayant les racines m(d — x) z= ±jtx.

On n’a mis le double signe que dans un membre; si l’on écrivait zbm(d — x) — ±nx

c’est comme si l’on posait les quatre équations

-f-m(d — x) —-{-nx — m(d — x) — — nx -\-m(d — x) — — nx — m(d — x) = -{-nx.

Mais les deux premières n’en font qu’une; car si l’on multiplie la première par — 1 , on trouve la seconde; de même les deux dernières n’en font qu’une. Il suffit donc d’avoir égard à la première et à la troisième, ce qui donne

m(d — x) — ±nx, comme ci-dessus de là md — mx +nx

Il y a ici différentes hypothèses à faire.

1°, b par suite n. Les solutions sont

md , , md

x' détermine en effet un point situé entre A et B;

m . . md ^ .

car <T 1 et <^a.

De plus ce point est plus près de B que de A. Car de

ALGEBRE.

n il suit 2 my> m-+-n et 1

„ , m . 1 md . 1 , , - 1 .

d’où — — >5et — >ôd; donca;'>5d.

Quant àx", il est d, puisque m — n <^m , d’où 1 <C~

Donc x" détermine un point C' situé sur le prolongement de AB , de sorte qu’il y a deux points également éclairés. Et en effet si l’on pose AC' = x, on aBC'= x — d;les intensités des lumières

A , B, aux distances x , x — d, seront — , -7-, et la distance

AC' se déterminera par l’équation — = - t— qui est la meme

que (1).

2°, a<^b ou m <^n. Ici x1 est d; carde m <^n on déduit ni 1

2 m < m-f -n et <T x- Ainsi le point C doit être, ce qui est

évident, plus près de A que de B. Quant à x'\ il est négatif. Pour expliquer ce résultat, on changera dans l’équation (1), x en — x ; elle devient

Or si x et d-\-x doivent encore ici désigner les distances des points A et B à un même point de la droite AB, il faut que ce point soit sur le prolongement de AB vers C" , car la distance d-\-x qui le sépare de B, doit se composer de la distance x qui le sépare de A, plus AB. Ainsi le second point également éclairé est situé vers C", et la distance AC" sera la valeur de — x", c’est-

à-dire-^-.

Ces résultats sont d’accord avec le premier cas <x^> b; car on y a vu que, outre le point C situé entre A et B , il y a un second point également éclairé situé au delà de la plus faible des deux lumières par rapport à l’autre.