LIVRE ir

, , . ... . .. — b+y^b' — 4ac .

nent des formes particulières. La première de-

b-+-V'b' 0 , , — b-Vï' —U

vient ou la seconde ou — Quant à

celle-là on peut la préparer de façon qu’elle satisfasse à l’équation proposée, qui, par l’hypothèse «=0 se réduit k bx-{-c— 0.

En effet, on a

— b-\- V' b* — 4 ac ( — b-\-^ b ’ — 4ac)(b~ f-l/ b1 — 4ac)

2 a(b-\-V' b% — 4ac)

— à’-f-à’ — 4ac

2«(& b'—4ac) b | I /ft’ — 4ac

faisant ici a— 0 , on trouve-^- ou — -, valeur qui est aussi celle

que fournit l’équation àx-|-c=0.

La valeur — — peut aussi être regardée comme satisfaisant à

■t»b . amvifeimAl do a^ui&tq d , .

l’équation. En effet, supposons d’abord a infiniment petit. Si dans

l’équation proposée on fait x — - elle devient

ey’ -f- by -f- a. =0.

'Ml 1; F'

Or,- est le produit des deux racines, et comme cette quantité est infiniment petite, l’une des racines au moins l’est aussi., Car si les deux racines étaient finies , leur produit - serait fini. Donc a étant infiniment petit, et c ne l’étant pas, l’équation en y a au moins une racine infiniment petite , et comme a; , l’équation

en x a au moins une racine infinie.

Ainsi les formules trouvées dans le cas où a n’est pas nul , conviennent encore si a=0.

On reconnaîtra , dans quelques questions de géométrie, que les valeurs infinies de certaines inconnues peuvent fournir de bonnes solutions.

algèbre.

PROPOSITION XXXV. — PROBLÈME

Trouver les conditions nécessaires pour que ax’ -f-bx-f-c soit le carré d’un polynôme entier et rationnel par rapport à\,à coefficients quelconques.

Le polynôme dont a-r’-f-ôx+c est le carré, ne saurait être d’un degré supérieur au premier par rapport à x. Car le carré d’un polynôme est d’un degré double de celui de ce polynôme.

Donc si «x’-t-ôxrf-c est un carré, sa racine et de la forme ax et ce trinôme lui-même doit être identique avec (ax-+-(iy. On a donc identiquement

flx1-+-6x-|-c=a,x’ + 2a(ix-{-(3’; donc (pr. 29 , c. 2) on aura

Pour que le trinôme proposé soit un carré , il faudra que ces trois équations s’accordent. Or la première et la troisième donnent a —±a , fthV'c

Mais on doit avoir b =.2afi;

substituant pour a et (i leurs valeurs, on aura la condition b—± iV' ac ou b* — 4ac

Ainsi, il faut que le carré du coefficient moyen b soit égal au quadruple produit des coefficients extrêmes a et c .

On peut vérifier à posteriori qu’en effet ax’-l-ôx-f-c est un carré si cette condition est remplie, car si b' — 4ac , c’est que .

c — —, et le trinôme peut se mettre sous la forme

ox’-f-ôx-f- — ,

Ce qui est le carré de x

comme on peut s’en as-

surer.