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Définition 10. Supposer qu’on remplace une lettre x successivement par tous les nombres compris entre deux limites données m et n; c’est ce qu’on appelle faire varier x depuis m jusqu’à n. Quelquefois on suppose que x varie de manière que chacune des valeurs qu’il prend diffère infiniment peu de la précédente, c’està-dire qu’on suppose que x varie par degrés insensibles. C’est de cette manière que varie la longueur d’une ligne pendant qu’on la trace; dans ce cas on dit que x varie d’une manière continue.

PROPOSITION XXXVI. — PROBLÈME

Examiner ce que devient le trinôme ax’-f-bx+c si l’on fait varier x de — oo à -f- oo .

Il y a trois cas.

1° Les racines de l’équation «r,-|-6.r-|-c=0 sont réelles et inégales. Soient x‘, x" ces deux racines. On a (p. 31) b c

donc ax* -\-bx-\-c-=a(x — x')(x — x") (1).

Supposons x'<^x", quels que soient d’ailleurs les signes de x‘ et x".

Tant que x sera x', il sera aussi x"; donc on a x — x'<^0, x — x"<^0, le produit de ces facteurs sera positif, et le produit (1) sera de même signe que a.

De plus, depuis x = — oo jusqu’à x = x', le module* de chaque facteur diminue; il en sera donc de même de celui du produit. Si l’on faitx=x', ce produit devient nul. Si x devient^> x', tout en restant <fx", le facteur x — x‘ sera 0 et x — x" <^0;

donc (x — x') ( x — x") est négatif, et le produit (1) sera de signe contraire à a, jusqu’à ce qu’on fasse x — x", où ce produit redevient nul. Or je dis que, à partir de X=x‘ , où le trinôme est nul, la valeur absolue augmente jusqu’à une certaine limite, à partir de laquelle elle diminue jusqu’à zéro , valeur quelle atteint pour x = x". En effet, on a

a(x—xr) (x — x") — — «(x — x') ( x " — x).

^Module a ici la mèaïc signification que valeur absolue.

AUikliHK.

Mais la somme des deux facteurs x — x“ — xestx" — x'> quantité indépendante de x, et par conséquent invariable si x

varie. Représentons-la par 2 s, de sorte que

Nommons 2 z la différence de ces mêmes facteurs, en posant (x— x') — (x" — x) = 2s (1)

Il s’ensuit (p. 21) que x — x' — s-\-z et x" — x — s — z

et le produit (x— *0 (x"— x) sera (*+*) (s-s) ou s1— z’. Or ce produit sera toujours moindre que s excepté dans le cas où l’on supposera à x une valeur telle que z soit nul.

Ainsi pour que le produit s’— z1 ait sa plus grande valeur , il faut que z soit nul , ce qui exige , vu la valeur de z, que

x— x' = x"— x d’où x = ^ — -

D’ailleurs l’équation (1) donne

oc ^ | y ^ ^

Donc si l’on fait croître x, depuis x* jusqu’à — ^ — , z dimi-

nue de valeur absolue depuis z — x' — ÿ jusqu a zéro,

par suite y* — z’ crolL jusqu’à s\ Si ensuite x varie de — - —

oc J | oc ^ *

à x", z augmente de valeur absolue jusqu’à z — x" ^ — ,

et y’ — z’ décroîtra de nouveau.

Supposons maintenant que x soit x"; dans ce cas x — x‘,

x x" seront positifs et iront en croissant sans aucune limite.

Donc il en sera de même de (x— x') (x x"); le trinôme ox+Ax+c aura donc le signe de a et croîtra indéfiniment en