LIVRE II

valeur absolue. Ainsi dans ce premier cas, depuis x — — oo à a* = x', le trinôme est de même signe que a et diminue en valeur absolue; il est infini lorsque x = — oo , et nul lorsque x =z x‘. Depuis x ~ x' jusqu’à x — x", le trinôme est de signe contraire à a : son module augmente depuis 0 jusqu’à une cer-

taine limite qui est le module de as1 = a

et diminue

à partir de là jusqu’à zéro. Enfin de x = x“ à x — -h oo , le trinôme reprend le signe de a et son module augmente jusqu’à l’infini.

On voit donc que si l’on met pour x successivement deux nombres qui comprennent x', ou x“, le trinôme prend des signes contraires, tandis que si l’on met pour a successivement deux nombres qui sont compris entre x‘ et x“, ou qui comprennent a' et x", les résultats sont de même signe.

2° Les racines de l’équation ax*-}-bx-\-c — 0 sont égales.

Dans ce cas xM — x-\ — est un carré (p. 3â) ainsi queax’-|-6x-|-c, a a

qui par conséquent (p. 35) se réduit à af x ] ^ J .Or, quelque

valeur qu’on mette pour x, celle expression est toujours du signe

de a. Si x varie de — œ à — ~ , la valeur absolue du trinôme

diminue, depuis l’infini jusqu’à zéro, et six varie de — — à -f-oo ,

elle augmente de nouveau jusqu’à oc .

3° Les racines de ax’-|-Ax-|-c = 0 sont imaginaires.

. — b+V b% — Ane ,

Puisque ces racines sonlx r= — , (,p.

pour qu’elles soient imaginaires, il faut que A’ — Acte soit <^0

ou 4ae'> A’ ; divisant par 4a’, on a - *> - — .

^ 1 rt ^ Art"1

Soit â* la différence entre - et-^ , de façon que - = - h d*;

ALGkBBK.

on a a^-\-bx-\-c — a ( xM — x-\ — ^ v a a /

ou = a(x-+ix+£- nr) =« [(*+L) -H»1 j

Les parties ^x+^-) > étant positives quel que soit x,

on voit que le trinôme sera toujours du signe de a; si x varie

de — oo à — — , le module de ce trinôme diminue depuis oo 2 a

jusqu’au module de ad' ; x variant ensuite de — — à +oo , ce

module augmentera depuis celui de ad ' jusqu’à oo . Le plus petit

module est donc celui de ad ' et répond à x = — — •

Remarque 1. Si x varie d’une manière continue de — oo à +oo , lé trinôme ax’+ôx+c variera aussi d’une manière continue. En effet supposons qu’on ait donné à x une valeur a, et qu’on lui donne une seconde valeur a+ft, où h est infiniment petit. La variation du trinôme, c’est-à-dire la différence des valeurs qu’il prendra , est

a(«+/i)’+ô(et+A)+e — aa' — ba — c = 2 aaA+6/i+a/i’.

Or, chacun des termes de celte variation est infiniment petit. Donc leur somme est aussi infiniment petite. Donc si x varie par degrés infiniment petits, il en est de même du trinôme.

Remarque 2. On a démontré ci -dessus que le produit de deux facteurs variables (x— x')(x" — x) dont la somme est invariable, a une limite qu’il ne peut pas dépasser. La plus grande valeur ou, comme on dit, le maximum de ce produit, répond au cas où la différence des facteurs est nulle, c’est-à-dire où ces facteurs sont égaux. Par conséquent s’il s’agit de diviser un nombre en deux parties dont le produit soit un maximum , il faudra que ces deux parties soient égales , et le produit maximum , résultant de la mul • tiplication de ces deux facteurs dont chacun est égal à la moitié du nombre donné, sera égal au carré de la moitié de ce nombre. C’est ce qu’on peut encore reconnaître de la manière suivante :