LIVRE II

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Soit 2 s le nombre à partager , x l’une des parties ; 2$ — x sera l’autre. Représentons par q le produit de ces deux parties ; on aura l’équation x(2s — x) = q

d’où x1 — 2îx = — q et xx s-±V' s* — q

On voit que q , produit des deux parties , ne saurait être supposé plus grand que sans quoi x serait imaginaire. Donc le maximum de q est 1% et la valeur correspondante de x est s , de même que celle de 2* — x : il est donc vrai que les deux parties doivent être égales.

PROPOSITION XXXVII. — PROBLÈME

. ax’ -|-2bx -H?

Reconnaître si -r— est susceptible a un maximum

ou d’un minimum* x variant de — oo à -(-oo ; de même

ax-j-b-f-l/ a'x’-f-2b'x+c'.

1° On pose

ax% -f-26x — f— c ■

d’où ax’ — |— 26jt -f-c = y(a/x*-j-2ô/x-|-e'); ordonnant par rapport à x ,

delà r - b'r~b±v/ (b'r -by-’ri.ç'r-ç)

Le polynôme sous le radical est de la forme gy'-\-hy-\-i , et offre plusieurs cas.

1° Il se décompose en facteurs réels du premier degré, comme g(y — y') (y— y")î supposons y' <^y”. Si g est ^>0, on peut donner à y toute» les valeurs de — a© à y', et dey” à-f- ao , sans

3 Un minimum est une valeur plus petite que celtes qui précèdent et qui suivent.

ALGEBRE.

que x cesse d’être réel ; niais x n’est plus réel si / est entre y' et y" (p. 36). Il s’ensuit que y' est un maximum des valeurs de y depuis — 00 jusqu’à y', et que y" est un minimum des valeurs de /depuis /"jusqu’à 4-00 . Pour/=/', qui anule le radical ,

on a x — — et pour y — y , onai = — .

a — a y' v JJ’ a— d'y"

Si g est <^0 , représentons-le par — g1; le polynôme sous le radical prend la forme — g‘(y — y1) (y —y") ou g‘(y — y') (/"— y). On ne peut donner ici à y que des valeurs comprises entre y et y ", sans quoi x est imaginaire; ainsi y' est le minimum et y" le maximum de y.

2° Les racines de gy%-\-hy-{-i=iO ne sauraient être égales que si g est positif ou si y* est indépendant de#. Car si g était négatif et égal à — g' , le radical de la valeur de x serait de la forme

l/ —g '(/—/')’ ou (y— y •y/ —g et x ne serait réel que pour y — y'. Ainsi, réciproquement, x variant de — 00 à -j-œ , y ne pourrait prendre que la seule valeur réelle/'. Or, pour chaque valeur réelle de a», / est réel ; et si / ne pouvait prendre que la valeur/', il faudra donc que toutes les valeurs de / fussent égales entre elles, ce qui revient à dire que /serait indépendant de x , c’est-à-dire que ax‘-\J2bx-\-c serait divisible par

a 'af ’-f-2 b ‘x-\-c '.

Supposons donc g positif; on aura sous le radical de x la quantité g (y — /')' et cette valeur devient

by-b±{y-y‘)\/g

• jC ' >

On peut donner à / toutes les valeurs réelles imaginables, x ne cesse pas d’être réel. Ainsi / n’a ni maximum ni minimum.

3° Les racines de gy'l-+hy-\-i sont imaginaires, et par suite ce

trinôme prend la forme g jjf/ I ^ J- Donc g étant po-

sitif, / peut varier depuis — a© à -f- » , x sera toujours réel , et / n’a ni maximum ni minimum. Dans ce cas, 'g ne saurait pas non plus être négatif.