LIVRE II

4“ Le radical se réduit à Ÿ hy-y-i. Pour que x soit réel, il faut que hy-\-i 0 ; si h est positif, on aura doncy^> — j-, ainsi

— - est un minimum; si h est négatif et égal à — h1, on aura

— h'y-\-i 0 , d’où y<-, qui sera un maximum.

Passons à la seconde expression

y — ax-yb-\- V' a 'x'-y'ib 'x-\-c

On en tire (y — ax — 6)J zz a‘x>-\-'2b ‘x-\-c‘

d’où a?’(a’ — a1)- \-2x( — ay-\-ba — b1) -f- (y — 6)’ — c'=:0.

De là, on tirera la valeur de x, qu’on discutera comme cidessus.

Problème. De tous les rectangles inscrits dans un même cercle, quel est celui qui a le plus grand périmètre ?

Soit r le rayon du cercle, %x la basedu rectangle; le rayon est l’hypothénuse d’un triangle rectangle dont la demi-base et la demi-bauteur sont les deux autres côtés; ainsi la demi-hauteur

sera P/ r’ — x‘, et le périmètre 4ar-f-4P/ r’ — x', que je pose zz4y d’où (y — #)* = /•’ — x 1

et x = -y±-y-2r'-y\

On voit que y ne saurait surpasser P7 2r’ ou rV 2 ; ainsi le maximum dey est rP^; ce qui donne x— xy — x rV ' 2 et la

Jt -

base <2x=.rV/ 2 , côté du carré inscrit. Le rectangle cherché est donc le carré inscrit.

PROPOSITION XXXVIII. — PROBLÈME

Résoudre et discuter l'équation bicarrée x'-ypx'-yq — Q. On peut mettre cette équation sous la forme

ALcknnc.

En regardant x * comme l’inconnue de cette équation , on en tire

=-\p±V-Ap'-^

d’où

Pour discuter les racines, soient p et q deux nombres absolus ; l’équation présente quatre cas :

1" xi-f-px’-t-ÿ =0 , 2® a.'4 — px'-\-q —0 ,

3° — q~0 , 4° x:> — px% — q — 0.

L’équation (1) ne saurait admettre aucune racine réelle. Car un nombre quelconque, positif ou négatif, mis à la place de a:, rendra x* et px‘ positifs; donc x^-\-px'-\-q ne saurait devenir

nul. En effet, les valeurs de a-’ qui sont — ^ p± p’ — q sont

imaginaires si ^ p’ q , et par suite celles de x ne sauraient être réelles, puisque le carré d’une quantité réelle est réel ; ces valeurs de .r* sont négatives si ^ p’ '/ » donc a* est encore imaginaire.

Pour l’équation (2) on a x® == ^ p± ^ p ’ — q. Si ^ p’ q,

les valeurs de x*, et par suite celles de r, sont imaginaires. Si ^ p7 = q les valeurs de x sont réelles : il y en a deux qui sont

égales à -f- |/ ' p, les deux autres à — |/ -p. Si - p* q , les

valeurs de x’ sont positives : donc les quatre valeurs de x sont réelles.

Dans l’équation (3) on a x’ = — -^p±|/ - p'+7- L’une de