I.1VHE II

ces valeurs est positive , l’autre négative. Ainsi il y a deux valeurs de x réelles et deux valeurs imaginaires.

Pour l’équation (4), x’

-hq > valeur dont l’une

est positive, l’autre négative. Donc x a deux valeurs réelles et deux valeurs imaginaires.

En résumé , l’équation bicarrée peut avoir : 1° quatre racines réelles , 2° deux racines réelles et deux imaginaires, 3“ quatre racines imaginaires. Jamais elle n’a plus de quatre racines. Car l’équation (1) n’admet pour x 1 que deux valeurs (p. 29), et chaque valeur de x’ n’a que deux racines carrées.

1er Ex. x 4 — 45x’-l-324=:0

d’où

donc a:1 = 36 et x' = 9 puis x = ±6 et x = ±3.

2" Ex. x*— 2x,(aM-6’)H-«4-+-64---2a,fc,:=0

delà x,—a‘-j-b[‘±l'/ 4 a’ô’ =a’H-6’±2«A

donc x’=a’-+-6*-(-2a = (a-|-6)* et x=rh(a-f-é) puis x*=a*-+-é* — 2ab = (a — b )* et x=±(a — b).

Corollaire. La résolution de l’équation x*-\-px'-+-q — 0 fournit les moyens de décomposer le trinôme x^-+-px*-+-q en facteurs du premier degré en x. Dans le premier exemple ci-dessus, on a

ou x4-+-px3-}- q = (x-f-6) (x — 6) (x-+-3) (x — 3) .

De même x4 — 2x’(a’-|-6’)-f-£i4-j-ô4 — 2a’A,=

= (x — fl — b) (x-+-a-(-ô) (x — a-j-b) (x-f-a —b).

Décomposer, si faire se peut second degré.

PROPOSITION XXXIX. — PROBLÈME

, ]/ a-t-P^b en deux radicaux du

ALGEBRE.

Soient x et y deux nombres commensurables : ia question est de savoir si i’on peut les déterminer de façon que

Elevons cette équation au carré

a-\- V' b — x-\-y- 1-2 V' xy.

Or, si V^b est incommensurable, je dis que \S xy l’est, sans quoi cette équation donnerait

V'I) — x-\-y— «+2 Ÿ xy,

valeur qui serait commcnsurable si xy l’était.

Cela posé , on aura

V' b—‘2\^xÿ = x-hy — a. (1)

Mais si V' b et V xy sont incommensurables, I / b — 2 Ÿ xy sera nul ou incommensurable. Car s’il était égal à un nombre commensurable c , différent de zéro , on aurait

V' b — 2 V' xy~c d’où V b=c-\- ’ïV' xy

élevant au carré d’où Ÿ xy—

b-c* -\-%xy-lr'2c\// xy

b — c’— 4Xy 2c

de sorte que V' xy serait commensurable, ce qui n’est pas.

D’un autre côté le second membre de l’équation (1) est commensurable ou nul. Donc chacun de ces deux membres est nul , ce qui donne les deux équations :

V' b — 2 V^xy d’où .rj=-,etx+j — a =0 d’où x-^-y—a.

Il s’ensuit (p. 32 c.) que x et y sont les deux racines de l’équation du second degré

x’ — <z.r+-— 0 d’où a1 — b.

L’une de ces valeurs sera celle de x, l’autre celle de y; pour

qu’elles soient rationnelles, il faut et il suffit que a’ — 6 soit un carré.

Ex. 1". V 6+41/2 ou V 6+I/3Ü On a ici «= 6,6=32.... d’où a’ — 6 = 4 qui est un carré.

Les valeurs dexsont3±l; ainsi #=4; ^=2, et

quantité bien plus facile à calculer qu’elle ne l’est sous la forme donnée.

Ex. 2. V* 13+2&/ 42 ou ^13 + 1/168;»= 13, 6 = 168, a’ — 6 = 1 qui est un carré.

Les valeurs de x sont — ± - ainsi x = 7 et y = 6.

Donc V/13+2 1/42 = 1/7 + 1/6.

Cette transformation sert à simplifier , dans certains cas, le calcul des racines de l’équation x''+px1+^ = 0, lesquelles sont

de la forme V a+17 6.

Remarque. 1 . Il est évident à priori qu’il y a des cas où la transformation actuelle est possible. Car si l’on élève au carré les expressions m + 1/ n, l/ m'+ V' n\ on trouve

Donc réciproquement Vm’+n + 2m|/ra=m+l/n

et ^^m/+-n/-+2/re'/ n‘~\^ m‘ — |— l/ n ‘ .

Remarque 2. Le radical V a + |/6 présente proprement quatre déterminations, et si l’on nomme a, (i les valeurs de x et y, l’expression ^x-\-V/ytn présente quatre également. Soit m^>n;

on a pour V a+V 6 les quatre déterminations + V* a+l/ b ,

ALGÈBRE

Supposons P7 b ; ces quatre expressions sont réelles; les

deux premières sont positives , et la première est plus grande que la seconde; les deux dernières sont négatives, et égales respectivement aux deux premières , au signe près. Prenant donc aussi

les quatre déterminations de P7 m-f-P7 n, qui sont -f-P7 m- f-P7 n,

-+V ni — P /n, — P7 ni — P7 n, — P^m+P7 », on reconnaîtra que

— Va+P7 b— — P7 m. — P7 n, — V a — \Z~b — — P7 m+P7 n.

PROPOSITION XL. — THÉORÈME

Les puissances entières positives de- f-P7” — 1 , sont toutes égales

à ■±y' — 1 , ou à ± t .

D’après la définition on a (+P7 — l) — — 1. Donc

(4 P/ri)3 ou (+P7-l)’x(+P/^ï)=-lx(l/IT)=-P7IÏÏ;

(+j/Zî)4= (+p/Zi)1 (+P/-i)a = (-l)*= 1 .

Actuellement remarquons que si l’on divise un nombre entier positif par quatre, le reste, supposé positif, ne peut être qu’un des quatre nombres 0 , 1 , 2 , 3; représentant par n le quotient, qui est entier positif, on reconnaîtra que le dividende est compris dans l’une des quatre formes 4», 4»-f- 1, 4» H- 2, 4re-(-3, lesquelles comprennent par conséquent tous les nombres entiers positifs. Prenons donc successivement ces quatre expressions pour

exposants de P7 — 1, et nous aurons toutes les puissances entières

del/^T.

Or (+P7ZÏ)4’’=((h4/ZÎ)^)”==(+i)"=-H

=(+i/-i)4nx(+P/=T) = -+VZT.

UŸflE II.

Dans toutes les puissances de -\-V/ — 1 se réduisent à ±V~Z{

et à + 1. Celles de — V' — 1 seront de même ±4 / 1 , il.

S il s’agit de l) on divise 31 par 4: le reste étant 3,

on en conclut que 31 est compris dans 4n+3 et que

(+l/ZT)3'=l/IT.

De .même 54 est de la forme 4re+2 et (-h^ l)54= 1.

PROPOSITION XLI. — THÉORÈME

La somme, la différence , le produit, le quotient de deux imaginaires, les puissances à exposants entiers positifs , les racines

carrées des imaginaires, sont de la forme —\.

Soient les expressions « '-+-/? 4/ Z? ; leur somme

est (a-f ï ; leur différence est

(a î; leur produit

(«^ '/-0(cc'+Piy~l= aa'—ffî+ia/l'+aV)

toutes ces expressions sont de la forme

r\ , .Cl -+-$ ^ — 1

t^uant au quotient , multiplions les deux termes

par a' — (i‘ — 1 , il vient [a -f -fi

{a'+fiV^j^-ftVZÂ) a''-h(r

OU

aa

an- bfi‘:

résultat qui est aussi de cette forme.

Une puissance telle que celles dont il s’agit n’étant qu’un produit, il est évident qu’il en est de même de ces puissances.

ALGliBRE.

Passons aux racines carrées : je dis qu’il existe pour x et y des

valeurs réelles telles qne l’on aura x-\-y\/ — 1 —\/ «-f — 1 , ou ce qui revient au même

(x-fyl/ — 1)’= a+^VrH 1.

Car de là on lire x’ — ÿ1- \-'2xyV' — 1 =a+/?P/ — 1

ou x’— j1 — a — (/9— 2xj)|/l.

Or si ces deux membres n’étaient pas nuis , on aurait une quantité réelle égale à un imaginaire; mais comme on a deux indéterminées, on peut en disposer de manière que l’on ait

— y' — a 2xy — (: 3 d’où/ = •—

Puis x* (L- — a

ft'

OU x4 «J!’ — — 0.

Cette équation donne

Parmi ces quatre racines il y en a deux qui sont réelles

x = ±i /ifà+X/a'+p) : car ^ a' -h (}' est — a, et par

suite 0. Les deux autres valeurs de x sont ima-

ginaires. Or, pour chaque valeur réelle de x, l’équation y — g—

donne une valeur réelle de y. Donc x-\-jV' — 1 est de la forme

a , et a même deux déterminations de cette forme.

Remarque. Pour qu’un produit

(a-f-/?^ — 1 )(ct;+/9'P/ — l)(a" + /9',P/ — l) etc.