LITRE II

«oit nul , il suffit et il faut qu’un des facteurs le soit. Cela suffit :

car si a+f}V — 1 est nul , le produit de tous les autres facteurs

étantde la forme — 1, le produit total sera Ox(k+iVZi) qui est nul. En second lieu il le faut , et c’est ce qu’on reconnaîtra comme à la prop. 29 sur le produit (a — b) ( a-\-b-\-p ).

PROPOSITION XLII. — THÉORÈME

Les règles démontrées pour la multiplication , la division , relativement aux radicaux , conviennent à toutes les déterminations des radicaux du second degré.

1“ Multiplication. La règle est Va . I / b — V^b. Cette règle

donne toutes les déterminations du produit Va . V b. En effet ce produit offre les quatre formes

+l/ax(+l/6) , — V ax (-^)

-+-Vax(—Vl>), — Vax(-+-Vb ).

Or, les deux premières formes ne donnent qu’une valeur; les deux dernières en donnent aussi une seule. D’ailleurs chacune

de ces deux valeurs +1 VaxVb, — V~axVÏ, élevée au carré donne ab ; donc ce sont les deux racines carrées de ab , c’est-àdire les deux valeurs de Va b.

On raisonnera de même de V axV —b elV axV b. La

première expression offre deux déterminations dont le carré est

— ab ; donc Va . V — b — V — ab. La seconde en a aussi deux*'

dont le carré est ab; donc V —axV— b — V ab.

On doit remarquer ici quel/ axV a , n’est pas identique avec

(Va) . Car Vax Va offre les deux valeurs -\-V ax(-j-Va) et

— Vax(-\ -Va), tandis que (±Vây n’en a qu’une; ici c’est

-\-V a multiplié par lui-même, ou — V a multiplié par lui-même»

il).

ALGkunK.

aa8

tandis que là c’est -+-V' a ou — l ^ a multiplié par -\-V' a. Ainsi

le produit 1/ ax^a a deux valeurs ±;a, tandis que (y a ) n’a que la valeur unique a.

De même V' — lx V' — 1 = ± 1 , tandis que ( Y — l)* = — 1.

■ Que si l’on demande le produit de — a par +1^ — b , il

faudra que ce produit se change en — a, si l’on remplace b par a;

ce produit n’est donc pas ab , mais — \/ ab.

2e Division. Les raisonnements sont les mêmes. Ainsi en général

Chaque radical étant censé précédé du double signe. . Remarque 1. Dans l’élévation aux puissances, il y a deux cas. Si l’exposant est pair et égal à 2 ni, on a t

(i/«)im=((i^)Om=«,n.

ce qui ne fait qu’une valeur.

Si l’exposant est impair, chacune des deux déterminations -\-V~a et — V^a donne une puissance de même signe qu’elle, et

l’on a (+l/â)^' =±1^^

Ce résultat convient aussi au cas où a est négatif.

Remarque 2. La règle de l’addition des radicaux carrés semblables ne donne pas toutes les déterminations de la somme. Car

s’il s’agit d’ajouter avec &\/a, cette règle ne donne que

+ 8 ^ a , tandis que la somme doit offrir les quatre combinaisons

^3 V' a — ôy'a, — 3 S c’est-à-dire a, — SV' a,

-8 Vh, +2V/â.

ou encore ±:&^a, ■+; 2b/n.

LIVIIE II.

Donc s’il s’agit de combiner par addition ou soustraction des radicaux carrés semblables, il faudra, pour ne perdre aucune valeur, considérer successivement les deux valeurs du radical.

S’il s’agit de n radicaux, le nombre des valeurs de leur somme est 2”.

Remarque 3. L’extraction des racines des radicaux carrés ne saurait être traitée ici : on se contentera de faire observer que

|/n mn la règle y V' a =

fournit dans tous les cas une détermina-

tion de

a : car )/v~a élevé à la

puissance mn donne n, et

est par conséquent une détermination de la racine mn de a,

mn

c’est-à-dire une valeur de V' a.

De là on peut conclure que,V^ a-h/i^ — I , où n est, bien entendu, entier positif, a au moins une détermination de la

forme a-h/S^ — 1. Car 2“ = 2"— '.2; donc l’expression donnée

a au moins une détermination égale à \/ V a + — 1; mais

(p. 41) V a -H^-l a au moins une valeur ‘V — ,1;

donc une des valeurs de notre expression est V a'- 1. On prouve de même que celle-ci se réduit à un autre de la forme

V a"+pv~\ et ainsi de suite.

Définition 11. On appelle module de a +/?L/ — 1 la valeur absolue de Ÿ d'-'rft'. Par conséquent, si (3 est nul , le module est la valeur absolue de ou de a. Ainsi le module de l-f-l/ — 3 ou de l-fj/ i.y' — 1 est 1-1-3 ou 2; celui de — 7 est 7.

ALGEBRE.

PROPOSITION XIII!. — THÉORÈME

Le module d’un produit est égal au produit des modules des facteurs.

Soient

— 1 1 a.+zS.l/ —1 , aÆffV' — 1 , . . . . + -î

les facteurs. Supposons la proposition démontrée pour le produit des n derniers facteurs : ce produit est de la forme

le carré de son module, ou A’-f-B1, est donc, en vertu de l’hypothèse, égal à

(et (a,H-/V) (an’-b/V).

Le produit total sera

(A-i-B ^~\) — Aa— B/9 -f- (A/9 -f-Bct) \/ expression dont le module carré est

(Aa — B$ *-f- (A|9-i-Ba) * = A’aHB'^+A’/î’-fB’ft1 ou (A’H-B’) (aa-f-/9“) ,

mettant pour A’+B’ sa valeur hypothétique, on a pour le carré du module du produit des n-f-1 facteurs

donc si la propriété est vraie pour n facteurs , elle l’est pour n-f-1. Or, elle est vraie pour un facteur; donc elle l’est pour deux , etc.

PROPOSITION XUV. — THÉORÈME.

Le module de la somme de deux expressions a-\- 1 ,

a'-bflr — 1 , n’est ni plus grand que la somme de leurs modules, ni plus petit que la différence de ces mêmes modules.

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