LIVRE II
La somme des modules est , la
différence Ÿ a'+ff1— ^ a'+ft1' , en supposant le premier module plus grand que le second.
La somme des deux expressions est o + a'+(/9 + /î')l^ — 1»
et le module de celte somme est ^ (a-bct')’1 {— -h /?') % quantité dont le carré est
(1) . aM-a'H-/r + /?'M-2(aa'-+/?/S')-
Le carré de la somme et de la différence des modules est
(2) a’+/9’ + a/’+/9,’±2l/ (et’-b/S’) (a'’-b/9'’)-
Ces deux quantités (I) et (2) ont quatre termes communs, et je dis que aa'-+-/9/9' n’est jamais, en valeur absolue, plus grand
que («"-b/J'’), ou, que (aa‘ 4- /9/î')’ ne surpasse
jamais (cc’-b/9J) (a'- -b/?'1)» Car
(aa'+fflT = aV’+/S’/?'*+2««
et = a'al'+a'PH-H*nf+ai'{l\
Ces deux expressions ont encore deux termes communs, et il faudra prouver que
a‘(t,'+anfy'2aa'(ip'
ou que (a(i‘ — 0 ce qui est évident.
Si donc je représente la valeur absolue de aa' + ftft1 par /r%
celle de V' (a* 4-/?') (a'*-b/2'a) pourra être représentée par de plus, les quatre termes communs à (1) et (2) sont représentés par M% le carré du module de la somme sera
M’±K ; le carré de
la somme des modules sera M’-bK’-bd” ; celui de
la différence M’< — K’ — .$’•
Al.GklMË.
Or, la première de ces trois expressions n’est jamais moindre que la troisième, ni plus grande que la seconde. Si d’ est nul, la première est égale à l’une des deux dernières.
Corollaire. Le module de la somme de tant d’expressions qu’on veut est égal ou inférieur à la somme de leurs modules.
Soient m, les modules respectifs de
— 1 > cci-\- (ii V' — 1 , etc., aB+/9nL/ — 1 ; soit s la somme des n dernières de ces expressions, M son module , et supposons qu’il soit prouvé que
fii.+m,-
Il est prouvé que le module de a 4-/91/ — l-4-sest ^ m-4-M ;
donc ce module est aussi ^ ‘ -+-»»„.
Cette propriété est vraie pour deux expressions; donc elle l’est pour trois, quatre , etc.
Remarque générale sur les symboles négatifs.
Nous avons rencontré pour la première fois les symboles ou nombres négatifs dans la théorie des exposants; là , nous avons été conduits à adopter un certain langage que voici , et qui constitue proprement des définitions.
Ajouter des nombres précédés de signes, c’est les écrire à la suite les uns des autres avec leurs signes respectifs, en supposant le signe -+ à ceux qui n’en ont pas du tout.
Retrancher un nombre positif ou négatif d’un autre, c’est changer le signe du premier et l’écrire à la suite du second.
Au moyen de ces définitions, qui comprennent, comme cas particulier, les significations ordinaires ou arithmétiques, des mots addition et soustraction, nous avons pu renfermer dans un énoncé concis et simple toutes les propriétés des exposants, positifs ou négatifs , en tant que ces propriétés se rapportent à la multiplication ; de même pour la division.
A ces deux définitions nous avons ajouté la définition de la multiplication des nombres précédés de signes; après quoi nous avons examiné et établi les conséquences de ces mêmes débni-
