I.IVRF. III

lions, quanta leur application au calcul des polynômes. Ainsi , nous sommes partis des résultats suivants :

+6— (—7) =6+7 = 13; —5— (+6) = — 5— 6 = — 1 1 ; etc.

— }— 4x — 2= — 8 ; — 5x — 3 — — f- 1 o , etc.

puis, appelant nombres égaux deux nombres de môme signe dont les modules sont égaux , nous avons prouvé

1° Que si à une quantité quelconque, positive ou négative, on veut ajouter une expression complexe, telle que 7+5 — 15 — il suffit d’opérer comme dans l’addition des polynômes qui représentent des nombres absolus.

2° Qu’il en est de même pour la soustraction.

3° Que de même, pour la multiplication, il faut admettre comme conséquence des définitions ci-dessus, que, par exemple ,

Ces propriétés sont établies à la prop. 16; on a prouvé à la prop. 17 qu’elles sont vraies encore s’il s’agit de polynômes et que l’on donne aux lettres qui y entrent des valeurs positives ou négatives.

On a donc pu traiter la division , les puissances et les racines (sauf les radieaux de degré pair affectant des symboles négatifs) , puis la résolution des équations des deux premiers degrés, en général, et conclure que les valeurs positives ou négatives, trouvées pour les inconnues, satisfont à ces équations.

Restait à comparer les quantiés négatives avec les positives dans les inégalités, et ici on a reconnu que pour cela il faut traiter les quantités négatives comme si elles étaient moindres que# zéro , et qu’en général celle qui est la plus rapprochée de — <* doit être traitée comme la plus petite. Ainsi, de même qu’on l’a déjà fait remarquer dans la théorie des exposants négatifs, on a été conduit à donner aux expressions plus grand, plus petit un sens conventionnel, comprenant, comme cas particulier, leur signification ordinaire, n’exprimant plus, en général, une vraie relation de grandeur, mais la manière dont les nombres précédés de signes doivent être traités pour conduire dans tous les cas à des résultats qui soient ou absolument vrais, ou d’accord avec

Ai.cknnE.

ces conventions mêmes, résultats que dans le premier cas on pourrait toujours obtenir en ne raisonnant que sur des nombres absolus.

Enfin , nous avons fait observer les différences que. les symboles négatifs présentent, par rapport aux nombres absolus, dans certaines propriétés dépendantes de la multiplication et de la division, différences qui font une partie essentielle des règles de calcul relatives à ces diverses espèces de nombres.

Cet ensemble de conventions et de règles constitue la théorie des symboles négatifs, nommés aussi, quoique improprement, nombres négatifs , quantités négatives.

Remarque générale sur les imaginaires .

Celte nouvelle espèce de combinaisons de signes et de nombres se présente pour la première fois dans l’extraction des racines; mais là on ne l’a remarquée que comme indice d’une im- possibilité. Ensuite, dans la résolution de l’équation du second degré, on a reconnu que ces symboles jouissent de quelques-unes des propriétés des nombres positifs et négatifs, et d’abord , que si on les traite, quant aux règles de calcul, comme des nombres, les racines de l’équation du second degré satisfont à cette équation. Ce fait suffit pour légitimer l'emploi de ces symboles dans le calcul : d’ailleurs il faut de toute nécessité que les règles de ce calcul soient celles des quantités réelles, afin que l’on puisse, ce qui est nécessaire dans une foule de cas , opérer sur les quantités littérales, sans être obligé de faire des distinctions.

On remarquera une différence essentielle entre les imaginaires et les symboles négatifs : pour ces derniers , nous sommes partis de la définition des opérations sur les monômes négatifs, et nous ^avons prouvé les règles relatives au calcul des polynômes. Dans les imaginaires on a reconnu de suite, à propos de l’équation du second degré, que la condition nécessaire pour leur admission dans le calcul est de les assujettir à ces règles. Du reste, on peut reconnaître A posteriori qu’il y a accord entre ces mêmes règles : il suffit pour cela de revenir à l’addition et à la multiplication des polynômes, parce que de ces deux opérations dérivent les autres. On peut vérifier, en général , que si S est la somme algébrique de deux polynômes P, P', à coefficients réels, Q leur produit, les identités S = P-f-P ', Q=P.P' seront vraies , même si