LIVRE PREMIER

il suffira d’insister encore sur le produit de deux monômes.

Or il est prouvé que si a:, y, z.... ont des valeurs absolues , on a , par exemple :

Sx3y’‘z'1 X 7 xy3z’,=:35xiy!'z(i;

je dis qu’il en est de même si x> y, z ont des valeurs néga-

tives. Car supposons qu’on donne à x une valeur négative — a, et y à z des valeurs positives; les deux facteurs deviennent respectivement

— Sa^’z4 et — 7 ay*z*;

le produit devient

. 3 6af'y'^'

et en effet — 5 a3y’z^x — 7 ay3z* = -|- 35e:4y5z'' , d’après les conventions sur la multiplication. Donc la valeur du produit est identique avec le produit des valeurs des facteurs. Il en est de même, quel que soit le nombre des lettres auxquelles on donnera des valeurs négatives.

Ainsi les règles démontrées prop. 2, 3, 4, 8 pour le cas oii les lettres et les polynômes ont des valeurs absolues, conviennent, en vertu des définitions des opérations, aux cas où ces lettres et polynômes ont des valeurs quelconques, positives ou négatives, et ces définitions elles-mêmes comprennent comme cas particuliers les significations arithmétiques des opérations, le mot opération désignant dans le sens actuel une combinaison de nombres et de signes effectuée d’après des règles déterminées.

En résumé donc, si S est la somme de deuif polynômes P, P'; D leur différence, Q leur produit, les égalités

S=P+P', D=P— P', Q=PxP'

seront identiques, quelques valeurs qu’on mette à la place des lettres qui entrent dans P, P'.

Remarquons ici que si dans un polynôme on remplace une lettre x par une quantité négative — x', tous les termes où x est affecté d’exposants pairs changent de signe , et les autres conservent leurs signes. Car il faudra changer x' ou x. a: en — x'X — x‘— x'’; x3 ou x.x*en — x'.x — x'3, x4 ou x\x* en x'\x'’=x'4, x5 ou x.x4 en — x'.x”'— — x'5, etc.

ALGEBRE.

Remarque. D’après l’extension que nous venons de donner à la signification des mots addition, soustraction, multiplication, on pourra dire que le produit de deux polynômes est la somme des produits partiels du multiplicande par les differents termes

du multiplicateur. .

Déplus, dans ce qui va suivre, on ne fera plus aucune restriction quant aux valeurs des lettres et des polynômes , lesquelles pourront être positives ou négatives.

Du reste, la dénomination de valeur absolue , détermination absolue ou arithmétique sera toujours conservée aux nombres abstraction faite de leurs signes, s ils en ont.

PROPOSITION XVIII. — PROBLÈME

Diviser un polynôme , produit de deux facteurs , par l un de

ces facteurs. . '

Multiplions d’abord un polynôme par un autre :

2a3— 5a-ô— 3oôM-4ô3 Diviseur.

3 a’— 4aô— 6Ô1 . Quotient.

6a5 — lôa^ô — 9a36M-12a'63 8(l46+2QaV>,H-12a’ô3— !6aô'(

6a5- 23a',& - a36’-H-ô4a’6M-2a&4 - 24'A Dividende.

Actuellement étant donnés le dividende ou produit ét le diviseur ou multiplicande, ordonnés par rapport aux exposants décroissants de la même lettre a, il est prouvé (p. 9) que le premier terme 6a5 du produit est le produit du premier terme 2a3 du multiplicande par le premier terme du multiplicateur ou quotient; donc divisant 6a5 par 2a3, on a le premier terme 3a1 du quotient. D’ailleurs ce terme aura le signe-4-, puisque, multiplié par-(-2a3, il doit donner-|-6a ’.