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Car

j ml'—. li2...n,x(iï|— (— l)...(n,— (— w,)x(wi— |— re,— (— 7ij)x...

X (nr j— n,— (— n-, — |— |— 1) X ...m.

Les produits séparés par le signe X sont divisibles, d’après ce qu’on vient de voir, le premier par l"*!' , le second par ln*l', etc., le dernier par l"!1'. Donc l“l' l’est par le produit ln‘l'.ln=l,...lnil‘.

Ces résultats sont déjà connus par la théorie des combinaisons (1. 1).

Définition 2. Soit b la base d’un système de numération ; si à la droite du chiffre des unités du premier ordre on place une virgule, on est convenu qu’un chiffre c placé à droité de la virgule vaudrait des unités dont chacune est égale à ^ ou b~\ et

que nous nommerons unités de l’ordre — 1 ; et, en général, si à la droite de la virgule on place plusieurs chiffres successifs, celui qui occupe Ienc rang, à compter de la virgule vers la droite, est supposé représenter des unités de l’ordre — n , dont chacune vaut A

— ou b~ ". Ainsi c, , c, ...ca étant des chiffres, on a

0 , CiC%c$ ... cn

c,bn—'-\-c'‘b"~*-+- . . . .-(-c,,—

système dont la base est 6 ,

fi

fl ■ b" '

, ou , en écrivant dans le

C yC^C 3 • • • • Ca

de sorte que le dénominateur est l’unité suivie de n zéros.

î PROPOSITION VIII. — THÉORÈME.

Toute fraction irréductible dont le dénominateur ne renferme aucun facteur premier avec b , peut se transformer exactement en unités d’ordres négatifs ; dans le cas contraire , on peut assigner une fvaction — qui diffère de la proposée de moins que — .

algLbrk.

1° Soit g la fraction irréductible donnée; soient r, s, etc., les

facteurs premiers de la base b , et soit b — r*s& ... ; le dénominateur B ne devant contenir aucun facteur premier avec b , ne contiendra que r, s, etc.; soit B = rsj'... Je dis qu’on pourra déterminer pour k et x des valeurs entières positives telles que

En effet , de cette équation on tire

À 6 * A (r*Jâ....)‘ , , a .

k=-=- = r—L = Ar*,-\ r®’-' . . .

Or, pour que k soit entier, il faut et il suffit que x soit un nombre entier positif qui rende entiers positifs les binômes ax — h, fix — i, etc. , c’est-à-dire que x soit entier et plus grand

que chacune des fractions — , -, etc. On peut donc choisir x

d’une infinité de manières, de sorte que la transformation est possible. La plus petite valeur qu’on puisse attribuer à x sera le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à la plus grande fl i t

des quantités - , — , etc. Tout nombre inférieur à l’une de ces

quantités rendra négatif l’un des exposants ax—h,(}x — i , etc. et donnera pour k un nombre fractionnaire. Si l’on remarque maintenant que la valeur entière de x est le nombre des zéros que renferme b ", et par suite le nombre des chiffres qui se trou-

vent à la droite de la virgule dans la fraction — transformée en

unités d’ordres négatifs, on reconnaît que, sous sa forme la plus simple , la fraction ainsi transformée aura , à droite de la virgule , autant de chiffres qu’il y a d’unités dans le plus petitjtiombre

entier qui n’est inférieur à aucune des quantités -, - , etc., et

le dernier de ces chiffres vers la droite sera différent de zéro ,

sans quoi on pourrait ie supprimer et, par conséquent, prendre pour x un nombre moindre que la plus petite valeur de cette inconnue.

2° Si B renferme un facteur premier d qui ne divise pas b; dans l’équation

x ne sera plus entier; car sans cela on aurait A5‘=:BA. Or, â

qui divise B , devrait diviser A6‘; mais g étant irréductible, â ,

facteur premier de B , ne saurait diviser A; d ne divise pas non plus b; donc il ne divise pas A6*.

Mais on pourra poser — et ; — .

Car de là on déduit d<C -;r- et ^ 1 ,

de sorte que d est, à une unité près , le quotient de A bn par B, en moins.

La valeur de h était aussi le quotient de A bx par B. Ainsi dans tous les cas, pour réduire la fraction donnée en unités d’ordres négatifs, soit exactement, soit par approximation, on multipliera le numérateur par une puissance de la base, c’est-à-dire on mettra des zéros à sa droite, et on divisera par le dénominateur. Si l’on a ainsi placé , successivement ou à la fois, n zéros à droite du numérateur, on séparera sur la droite du quotient n chiffres

par la virgule , et l’on aura — à moins de 7- près ; si la division

B on

qui a donné ce quotient ne laisse pas de reste, on aura ^ exactement.

PROPOSITION IX. — THÉORÈME

Si le dénominateur de Infraction irréductible B renferme des facteurs premiers avec la base b , le quotient de À par B sera périodique et la période aura au plus B — 1 chiffres.

ALGÈBRE

En effet , après avoir extrait de jj la partie entière qui peut

être zéro, on a un reste A,, qu’on multiplie par b; la division donnera un chiffre c, à droite de la virgule et un reste A, , qui , multiplié par b, donnera un second chiffre c, et un reste A3 . . . ; or, les restes A,, A,, A3 . . . sont positifs, moindres que B, et aucun d’eux ne saurait être nul ; donc ils ne sauraient être que quelques-uns des nombres 1, 2, 3 . . .B — l,et le reste ÂBau plus tard sera égal à l’un des B — 1 premiers restes; or, ce reste provient du chiffre c8, mis au quotient; donc après avoir trouvé au plus B — 1 chiffres à droite de la virgule, on retrouvera un reste déjà obtenu ; ce reste reproduira le quotient qu’il a donné la première fois , etc. Donc le quotient sera périodique et la période aura au plus B — 1 chiffres.

PROPOSITION X. — THÉORÈME

Toute fraction périodique simple est égale à une fraction ordinaire irréductible dont le dénominateur est premier avec la base.

Soit P la période, p le nombre de ces chiffres : représentons la fraction par 0,PPP, etc.

Soit æ la valeur de la fraction ordinaire d’où elle provient. Si l’on arrête la fraction périodique à un chiffre de rang quelconque , la partie supprimée est moindre que l’unité de l’ordre qui répond au dernier chiffre conservé. On peut donc prendre assez de périodes pour que la partie restante soit aussi petite qu’on veut, de sorte que u étant le nombre des chiffres conservés si u est très-grand, on aura en toute rigueur

x=0,PPP. . . . PP+y , y étant •

Si dans le second membre on recule la virgule vers la droite, pour la placer entre les deux premières périodes, c’est qu’on l’aura reculée de p rangs , puisque la période a p chiffres. On aura donc multiplié par 6p; ainsi

(1) a-.6p = P,PP. ... PP -f -ybr