LIVRE III

Dans la valeur de x le dernier chiffre conservé à droite étant

de rang u, la valeur de la dernière période à droite est — ; on peut donc, en supprimant cette période, écrire

(2) x=0,PP P + L+y.

Ou

Il y a maintenant ici à droite delà virgule autant de périodes que dans xbv ; si donc on retranche l’équation (2) de (1) , il vient

— l) = P+y(ôp — 1) — “ *

Or y étant infiniment petit et bv — 1 fini, y(bf — 1) est infini- P

ment petit; de même que — dont le dénominateur 6U peut être supposé aussi grand qu’on veut. Donc on a en toute rigueur .r(&r— l)=Pet* = ^— ^

Le dénominateur bv — 1 est premier avec bf , parce que deux nombres entiers dont la différence est 1 , sont toujours premiers

entre eux. Par conséquent si l’on simplifie la fraction — — j- , le

dénominateur necessera pas d’être premier avec 6P ou avec la base b.

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On voit que la fraction ordinaire — p — , équivalente à la

fraction périodique, a pour numérateur la période, et pour dénominateur bv — 1 ; or bv est l’unité suivie de p zéros, et si de ce nombre on retranche 1 , chaque zéro se change en b — 1 , et l’unité qui est devant ces zéros disparaît, de façon que le dénominateur sera composé de p chiffres consécutifs égaux à b — 1, c’està-dire d’autant de chiffres égaux à b — 1 qu’il y a de chiffres dans la période P.

PROPOSITION XI. — THÉORÈME

Toute fraction périodique mixte provient d’ une fraction ordi-

ALGkBEE.

nuire irréductible dont le dénominateur renferme au moins un des facteurs premiers de la base , et s’il y a m chiffres entre la virgule et la première période , parmi les facteurs ra, , etc. , de cette base b, il y en a au moins un qui se trouve au dénominateur à une puissance dont l’exposant est plus grand que m — 1, sans surpasser m.

En effet , soit M la partie non périodique ayant m chiffres , P la période qui qui en ap , et soit la fraction

x=z 0 , MPP. ... PP 4- y y infiniment petit.

Supposons qu’à droite de la virgule il y ait m -+- u chiffres. Puisque M a m chiffres , que Penap, ,MP en a m-f-p; si donc on recule la virgule de m-(-p rangs , on a

(i) x.&m-H,=MP,PP pp^y6”+p.

On a de même (2) xbm — M, PP. ... PP +y6"'

Ici à la suite de M il y a « chiffres , de sorte que la dernière

période qui est en excès par rapport à l’équation (1), vaut — . Retranchons (2) de (1) , il viendra

=MP — M+y(r+P- 5“) — — ou , négligeant les infiniment petits