LIVRE III

pas terminé par un zéro, et n’est pas divisible par b. 11 s’ensuit qu’en simplifiant x, on ne pourra pas diviser les deux termes par b, ou r * s3.... Si donc on peut diviser par s& ou •s3,-,,.s3~,~’’elde même pour les facteurs suivants de la base, on pourra tout au plus diviser par r“— ' ; mais le dénominateur contient b —r •f3™..,.,

et si on le divise par r“~ il y reste ram~x+' ou ,"(m— Ce dénominateur, simplifié autant que possible, renfermera donc le facteur r* à une puissance plus élevée que la m — 1®, sans qu’il puisse y être à une puissance plus grande que la m®. Si on avait pu diviser par r •*, on conclurait de même que parmi les autres facteurs s 3, etc., delà base il y en a au moins un qui restera, dans le dénominateur, à une puissance plus élevée que la m — Ie.

Corollaire , La valeur de x simplifiée autant que possible, se ré-

duira donc à la forme

-B' étant premier avec la base, et h.

i. . . étant égaux ou inférieurs, respectivement à ma, mfl. , . . D’un autre côté , dans ths' . . . l’un des facteurs rx,s& .... doit se trouver à une puissance plus grande que la m — 1e. Ainsi il est certain que l’une au moins des inégalités suivantes à lieu, savoir

(m — !)«, i^>(m — 1)/9, ou, ce qui revient au même,

m \ — Mi»*

Donc m est plus petit que la plus grande de ces quantités. Soit

- le plus grand des rapports on a donc m < j- 1 ,

mais aussi m — •

Par conséquent si le plus grand des rapports — —

oc’/?

. . est en-

tier , il est égal au nombre des chiffres de la partie non périodique; s’il n’est pas entier, c’est le nombre entier immédiatement supérieur qui désigne le nombre de ces chiffres.

AUiliBRE.

Remarque 1. La réduction d’une fraction ordinaire irréductible en unités d’ordres négatifs présente donc trois cas :

1° Le dénominateur ne contient pas de facteur premier avec la base; dans ce cas la réduction se fait exactement ( p. 8).

2° Le dénominateur est premier avec la base : la réduction ne se fait pas exactement (p. 9) , et le quotient est périodique simple; car il est périodique (p. 9), et s’il était mixte, le dénominateur ne serait pas premier avec la base (p. 1 1).

3° Le dénominateur renferme des facteurs de la base , et des facteurs premiers avec la base; le quotient ne se termine pas (p. 9), il est périodique (p. 9), mais périodique mixte , sans quoi le dénominateur serait premier avec la base (p. 10).

Remarque’!. Soit— la fraction proposée: dans le cas du quotient périodique, le nombre des chiffres qui précèdent la seconde période est au plus B — 1 ; s’il y a une partie non périodique ayant m chiffres, la période sera donc au plus de B — 1 — m chiffres.

Or, soit encore B=B'rh s'.... On a

— X bm= =

et si l’on réduit cette fraction en unités d’ordres négatifs, la période sera la même que pour jp. Mais la période n’aura ici que

B' — 1 chiffres au plus; et je dis que

B' — 1 est toujours B — 1 — m, ou, ce qui revient au même, B'<^ B — m, ou enfin B'-|-m <^B.

En effet, soit - le plus grand des rapports - , -, etc; on a a a p

m , et comme « n’est jamais <(l,onam , et

par suite m ^ h .

Comme/, etc., ne sont pas moindres que zéro, on a B