LIVRE III

mais r n’est pas <^2; donc B ^ 2h.B', et pour prouver <jue B'+m <^B, il suffit de prouver que B'-f-m <^2I’.B', ou encore, vu que m ^ A, de montrer que B'+A 2h.B' , c’est-à-dire que

A <B'(2h — 1). Or 2h — 1 est ^ A ; car 2— 1 = 1 , 2’ — 1 > 2,

et si l’on ajoute une unité au second membre et une à l’exposant de2 , le premier membre augmente de quatre unités et le second

seulement d’une, et ainsi de suite. Donc 2h — 1 A; d’ailleurs

B'^> 1 ; donc enfin B'(2|1 — 1) A.

Par conséquent B' — 1 est le maximum du nombre des chiffres de la période.

Définition 3. Une progression arithmétique ou progression par différence est une suite de termes dont chacun surpasse le précédent d’une même quantité qu’on nomme raison ou différence et qui peut être positive ou négative. Les quantités a, a-j-d , a+2d , a-\-3d , etc., forment une progression arithmétique dont le premier terme est a, et la ditlérence d. On l’écrit ainsi :

-r a . a-\-d . a~{-2d . «— (— 3t/. etc.

Le point se prononce est à; le signe -j-se place devant le premier terme , et sert à indiquer qu’il • s’agit d’une progression aritbméthique.

PROPOSITION XII. — PROBLÈME

Trouver l'expression de la somme de n termes consécutifs de la progression.

Pour former un terme quelconque, on ajoute dau précédent ; ainsi pour former le ne terme, on ajoutera n — 1 fois d au premier; donc ce n " terme est a-)-(n — 2 )d. Représentons-le par u: nous l’appellerons le dernier terme.

Cela posé, je dis que la somme de deux termes quelconques pris à égales distances des extrêmes, est égale à la somme des extrêmes. En effet un terme qui a un nombre p de termes avant

2Üo Ai.cknnE.

lui j, sera le p-f-lc terme, et son expression sera a~\-pd. D’un autre côté le terme qui en a 1 après lui, ou l’avant-dernier, est « — d; celui qui en a 2 après lui est u — 2 d, celui qui en a 3 après lui est u — 3 d, etc., celui qui en a p après lui est u — pd. Or la somme des deux termes a-j-pd, u — pd , est a-\-u, somme des extrêmes.

Actuellement désignons pour un moment par a, a, , a,...an—, , les termes de la progression ; soit s leur somme , de sorte que

s ~ a-f-di-f- . . . -H*»—

Écrivant en sens inverse

Si l’on ajoute les seconds membres par colonne, on trouve 2 s = (a-\-aa— . . . +(an — i-f-u).

Les termes rassemblés entre parenthèses sont des termes également distants des extrêmes et dont la somme est chaque fois («-|-an— ,); ainsi la somme totale est a-|-an— , répété n fois, ou rt(<M-an— ,).

Donc

2s — n(a-l-<in ,) ou = n(a-\-u)

d’où

La somme de n termes consécutifs d’une progression arithmétique est donc égale à la demi-somme des extrêmes, multipliée par le nombre des termes.

Ex. 1. Trouver la somme des 50 premiers termes de la progression arithmétique dont le premier terme est 8 et la différence 4.

On fera ici

n = 8,d=4, n= 50, d’où « = a+(n— l)d = 8-f-49.4 = 204 et S = = *±p*. 50 = 5300.