LIVRE III

Ex. 2. Deux mobiles séparés par une distance de 1650'” vont à la rencontre l’un de l’autre sur la droite qui les joint; le premier parcourt dans la première minute 4,n, et dans chaque minute suivante il fait 2'" de plus que dans la précédente. Le second fait 2“ dans la première minute , et dans chaque minute suivante 3“ de plus que dans la précédente. Après combien de minutes se rencontreront-ils ?

Soit x ce nombre de minutes; l’espace parcouru par le premier mobile en x minutes est la somme des termes d’une progression arithmétique où a — 4 , d= 2 , n = x ; donc cet espace

oui, est ■

x = 3aH-jr%

Pour le second mobile, l’espace parcouru dans le temps x sera 3as’-|-a:

— s — .Or la somme de ces deux longueurs doit être égale à 1650;

donc on a l’équation

Sx'-i-x

ou 5#,-f-7.r = 3300.

De là

ÏÔÔ+ “fif “ TÔ '

La valeur positive est x = 25.

C’est donc après 25 minutes que la rencontre aura lieu. Remarque. Le premier terme a, le dernier u, la différence d, le nombre des termes n, et leur somme s , s’appellent les cinq éléments de la progression.

PROPOSITION XIII. — PROBLÈME

Trois quelconques des cinq éléments de la progression arithmétique étant donnés , trouver les deux autres.

Entre les cinq éléments on a les deux équations

ALGEBRE.

Ces deux équations fourniront les valeurs de 2 des cinq éléments, lorsque l’on connaîtra les trois autres; il y a, par conséquent , autant de problèmes qu’il y a de produits 3 à 3 ou 2 à 2 à faire avec cinq lettres ; le nombre de ces produits est (1. 1, p. 25) 5.4

— ou 10. Voici les 10 problèmes :

1° Etant donnés a , n , d, trouver s, u.

On a «=a-|-(n — 1 )d; substituant cette valeur dans s ,

on trouve

2° Connaissant n , s, d , trouver a et u.

Les deux équations (1) donnent u — a~(n — l)<f , u-f-a = —

donc u — [ — a = —

3° On donne a , s, n , trouver d et u.

La seconde équation (1) donne u=— — — .

Substituant celte valeur dans la première, on obtient

__ 2 s — 2 nn n(n — 1 ’

4° On donne a , n , u , trouver s et d .

On a s~-

^ n; la première équation (I) donne d= — — .

5° Étant donnés d , u , n , chercher s et a.

La première équation donne a~u — (n— 1 )d au moyen de cette

valeur, la seconde donne s— — • n

6° Connaissant a , u , d , trouver s et n.

La première donne n — ^ —

et la seconde s — ■