LIVRE III

2ÜÔ

7° On donne s, 11, u, chercher a et d.

2i — un

La seconde équation donne a = -

la première

8° On donne a , u , s, trouver n, d.

La seconde équation (t) donne n =

et la première d =

9° On connaît s , d, u , trouver a et n.

La première équation (1) donne

a — u — nd-{-d,

valeur qui, substituée dans la seconde, fournit , 2 s = 'iun — n’d-i-nd

d’où

puis

2m-H/ ± l/ (2m-H/)* — 8 sd

Si u, d, s sont positifs, les valeurs de n sont réelles toutes les fois que (2M-H/)1 8 ds; cette condition étant remplie, elles

sont.aussi positives; si de plus elles sont entières , il y aura deux solutions.

10° Connaissant s , d , a , trouver u , n.

Les solutions des questions qui ne diffèrent l’une de l’autre qu’en ce que a est remplacée par u, et réciproquement , peuvent se déduire l’une de l’autre; car il n’y a rien de changé dans les équations (1), si l’on remplace a par u, et réciproquement, pourvu qu’on change d en — d, et en effet on peut aussi écrire la progression sous la forme

Ainsi dans 9" on changera a cil u, u en a, d eu — d, et 011 aura la solution de 10".

algLbüe.

Remarque. La quatrième de ces questions sert à insérer uu certain nombre de moyens arithmétiques entre deux nombres donnés. En effet, soient a, « les deux nombres, m le nombre des moyens à insérer; le nombre total des termes de la progression sera m- f-2 ; ainsi n=.m-\- 2. Or, la raison

ou, vu quenz=m+2, d~

c’est-à-dire que la raison est égale à la différence des extrêmes donnés « et a, divisée par le nombre des moyens augmenté d’une unité; la raison étant trouvée, on peut former la progression en parlant, soit du premier terme a, soit du dernier u. Par exemple, si entre 2 et 3 il s’agit d’insérer 99 moyens, on a

et la progression est

+ 2.2,1 .2,2. 2,3. etc. .2,99.3.

Dans le cas où le nombre des moyens à insérer est de la forme 2l — 1 , ces moyens peuvent être calculés immédiatement. Car puisque m=2k — 1 , on a n = 2l+l ; le nombre total des termes est donc impair, et il y a un terme du milieu. Soit p le nombre des termes qui le précèdent : ce terme du milieu sera a-d-pd ; mais p est aussi le nombre des termes qui le suivent; ainsi ce terme est aussi u — pd; le double de ce moyen est donc

a-\-pd-\-u — pd ou u+u ,

et ce moyen lut-meme est — - — :

appelons-Ie a'.

Le nombre total des termes étant 2k+l , abstraction faite de a', il y a 2k termes , dont la moitié précèdent a' et la moitié le

suivent; a ‘ est donc précédé de — = 2k— 1 termes, et de a à a1

compris il y a 2k— ’+l termes: donc à égales distances de a et«'

il y a encore un terme qm est égal a — - — . De meme, le ternie