LIVRE XII
Ct 2944
Les réduites sont j > sj ’ Tl ’ 7Ü ’ Ï28
La dernière réduite — - n’est autre chose que la fraction pro-
posée réduite à sa plus simple expression; car toute réduite est irréductible.
Réduire V' 5 en fraction continue. La partie entière de l/ 5 est 2 ; on piose donc
d’où y— > y^kr-= r=^ô + 2
J 1/5-2 iy 5 — 2)(/ 5+2)
Comme V' 5 est compris entre 2 et 3, y le sera entre 4 et 5. On posera donc
d’où
r'=ïh-
La valeur de y, est donc la même que celle dé par suite
Donc x—2-\- —
4 + ,etc.
ALRI'.IîRE.
Ainsi la fraction continue est périodique.
Remarque 1 . Supposons qu’il s’agisse de transformer celte fraction continue en décimales.
Les réduites sont j > 4’ 17 ’TT ’ 305 ’ ôlc-
En s’arrêtant à la cinquième réduite, on a la valeur de x approchée en moins; on peut prendre pour mesure de l’approximation l’expression ^ (p. 12), en posant Q, := 305 , et for-
xiVï
mant Q,, qui est 1292, ona qq~ — 39406O ’ el 1 on peut p0Sei
682 , 1 * = 3Ô6 + a»“é,ant<?
En réduisant en décimales, on poussera le calcul jusqu’à
l’unité décimale immédiatement supérieure à la limite de a, c’est-à-dire ici jusqu’aux cent millièmes, et comme la réduite est approchée en moins, on prendra la dernière décimale en plus , et on sera certain d’avoir x à 0,00001 près.
En effet on trouve
Représentons on.AA,w.A par 8: on aura
Or a et étant chacun moindre que 0,00001 , a — /9 l’est aussi en valeur absolue; donc 2,23607 est la valeur de x à 0,00001 près. Quand même on aurait calculé plusieurs décimales de plus à la réduite, comme a 11’est pas 0,000001 , on n’aurait pas pu conclure que le module de a — /? est 0,00000 1 .
C’est donc avec raison qu’on a prescrit de «'arrêter aux cent millièmes, et en général au chiffre décimal dont l’unité est immédiatement supérieure à la mesure de l’approximation do la réduite.
LIVKK III.
Reste à savoir si la valeur trouvée , 2,23607 , est approchée en moins ou en plus, c’est-à-dire si a — /? est positif ou négatif.
0r’“ ^ 394060’ P = 30500000’ d°nC ^ 1 135
Le numérateur du second membre est 3050000 — 135x3940 , quantité évidemment négative; donc a — j3 est négatif, et la valeur est approchée en plus. Ainsi x, ou V 5 est compris entre 2,23606 et 2,23607, ce dont on peut s’assurer « posteriori ; car (2,23606)’ = 4,9999643236 et (2,23607)’ = 5,0000090449.
Si la limite de a — j 3 avait été positive, on n’aurait rien pu conclure sur le sens de l’approximation ; mais en supprimant le dernier chiffre 7, on aurait un résultat trop petit, d’ailleurs exact à 0,0001 près. Il est vrai que le cas particulier où ce dernier chiffre serait 0, échappe à la règle; dans ce cas il faut ou pousser le calcul plus loin ou sacrifier tous les zéros qui terminent le nombre ainsi que le premier chiffre significatif qui les précède. En effet supposons qu’on trouve à -0,0001 près, une quantité x‘— 6,4800 , mais qu’on ne sache pas si elle est approchée en plus ou en moins; on saura pourtant que «'<(6,4801 et 6,4799 ; ainsi on sait que x'^> 6,479 ou ()>6,47, mais on ne sait si x <( 6,48. Cependant il est certain que «')> 6, 4 et x‘ <(6, 5.
Si la réduite avait été approchée en plus, on aurait calculé le nombre décimal en moins; dès lors on aurait eu pour x une valeur de la forme — a ; (i est connu exactement; quant à a on n’en connaît qu’nne certaine limite supérieure que je nomme a'; ainsi a <^a', et (i — a)> /$ — a'. Si /? — a est positif, /? — a le sera , et a sera approché en moins. Si (i — a ‘ est négatif, on se trouve dans l’incertitude , et on la lève comme on vient de le dire.
Remarque 2. On a trouvé pour V' 5 une fraction continue périodique; on peut voir dans la théorie des nombres de Legendre qu’il en est de même pour tout radical du second degré. Toute.
284 * ALGkBRE.
fraction continue périodique simple ou mixte , provient d’ailleurs d’un radical du second degré : en effet soit la fraction continue
Cl,-h .. I
(7,-t-elc. 1
On posera d’abord
etc.
ÿ H- etc.
etc.
et
d’où ^ =
elc.
(- etc.
a„-hy
Dans la première de ces deux dernières fractions continues, la réduite de rang f— J— 1 sera de la forme
m (?.~hr)+N
M'(7.-hr)+N'
