LIVRE III

et elle sera égale à y; on a donc d’abord -une équation de la forme M y+ K

• d’où M y-+-(K'— M) r-K = 0. (1)

Dans la dernière expression de x on formera la réduite de rang 'n+1 , laquelle sera la valeur de x et sera de la forme

Lr+H

d’où

II ‘x—U r~ L — L‘x’

Substituant celte valeur dans l’équation (1), on obtient, pour déterminer x , une équation du second degré à coefficients rationnels ; donc x est un radical du second degré.

Remarque 3. L’opération qui sert à réduire une fraction - en

fraction continue est précisément la même que celle qui sert à trouver les solutions entières de l’équation ax±by — c. Dans le cas du signe inférieur changeons y en — y, afin de n’avoir à considérer que l’équation ax-yby — c. On a trouvé pour les solutions entières de cctte.équation (1. 2 , p. 23)

x — yc-y-bt^, , y — de — atr

Or je dis que les valeurs absolues de y et ô sont les termes de

la réduite qui .précède

En effet d’après les formules de la proposition citée, où /•,+, = 1 , on a

etc.

Ai.c.knaE.

Mais les valeurs de x , y, t, t,, etc., donnent poui* f;-*-, = 0,

= ~q+ r’ ' t ” ~qÆ PT,- ~qÆ p

et et t,= c.

De là

etc.

Ainsi pour <i+. = 0, est égal à l’avant-dernière réduite,

que je nomme - , et comme - est irréductible, il faut que — .r

et y , soiçnt des équimultiples de k et l, de sorte que — x~mk, y— ml, métantentier; substituant ces valeurs dans ax-\-by— c , on a m( — ak-\-bt) = c.

Or ^ étant deux réduites consécutives, on a (p. 19)

« — ak-\-bl = ± 1 ; donc m =: ±c.

Ainsi les valeurs de x et y qui, d’après la p. 23 , 1. 2 , répondent à ii-i-, =0, sont x— ±kc , y — +lc, de sorte que les coefficients de c sont, en valeur absolue , les deux termes de l’avantdernière réduite.

Pour résoudre l’équation nx-\-by—c, on peut donc transformer- en fraction continue; soit \ l’avant-dernière réduite; a l

on a identiquement

ak — bl — ±1 , d’où a(±/fc)-)-6(±/c) = c,

celte identité montre que l’équation ax~\-by —c devient identi-

tique pour x =z+kc, y — +lc; les signes supérieurs ayant lieu

si - est de rang impair, et les autres si - est de rang pair.