LIVRE

Dès qu’on a une solation , on sait trouver toutes les autres (I. 2 , p. 23).

Définition 6. Une équation exponentielle est une équation où l’inconnue entre clans les exposants de quantités connues. L’équation exponentielle la plus simple est a' — b, a cl b étant des nombres absolus connus.

PROPOSITION XXV. — THÉORÈME

On peut donner à x des valeurs commensurables qui diffèrent assez peu l’une de l’autre , pour que les valeurs de a * diffèrent l’une de l’autre d’aussi peu qu’on voudra.

Donnons à x les valeurs commensurables a, a-hh; nous aurons pour a " les valeurs a*, rt“+h, dont la différence est

a*+h—a* = a*. ah—a* = «“(a1' — 1).

Posons ah , ni étant entier positif, on a a1' = — \/ a.

Or, il a été prouvé (1. 1 , p. 53 et 54) qu’on peut prendre m assez

grand, pour que la différence V a — 1 soit, en valeur absolue,

aussi petite qu’on veut. Donc il en est de même de «“(«" — 1) ou a“(a*‘ — 1).

Remarque 1. 11 a d’ailleurs été prouvé que si a 1 , on peut donner à x des valeurs assez grandes pour que a' soit plus grand que toute grande donnée; ainsi ax est infini avec x si a^> 1 ; au contraire , dans le cas où a 1 , ax est nul si x~<x>.

Remarque 2. Il faut ici fixer le sens qu’on doit attacher à l’exposant incommensurable. Soit l’expression a172 : on peut trouver deux nombres commensurables k , k-\ -i , dont la différenoe 1 est infiniment petite et qui comprennent entre eux 2. On vient de prouver que ak et diffèrent infiniment peu l’un de l’autre.

Or , ce qu’on entend par , c’est un nombre compris entre «k et aM-', nombre invariable qui sera )> ak et <^al+' si «)> 1 , et

ALGÈBRE

qui sera au contraire a*1-*-1 et a1 si «<^ 1 , en supposant dans tous les cas t^> 0.

Tl suit de cette définition que a ' varie aussi par degrés infiniment petits si l’on donne à x des valeurs incommensurables qui varient infiniment peu. Car soient (J , y deux nombres incommensurables dont la différence est infiniment petite, â, d-f- i deux nombres commensurables qui comprennent (3 , y entre eux, i étant aussi infiniment petit; aB et ay seront tous les deux compris entre a ^ et , dont la différence est infiniment pe-

tite; donc cia — a? est aussi , en valeur absolue, infiniment petit.

Corollaire. Ainsi il est permis de conclure que si x varie d’une manière continue depuis + =» à +oo , a ' variera aussi d’une manière continue de 0 à +» si a 1 , et de -j-oo à 0 si

Par conséquent, quels que soient les nombres absolus a et b , l’équation admet toujours une solution positive, unique; car 6 étant compris entre 0 et oo , il y a toujours une valeur de x qui donnera à a* la valeur de b , vu que a 1 passe par tous les états de grandeur , compris entre 0 et oo , si x varie de — oo à -J- oo . *

PROPOSITION XXVI. — THÉORÈME

L’exposant incommensurable est assujetti aux mêmes règles que l’exposant commensurable , dans la multiplication , la division, Information des puissances et l’extraction des racines.

1° Soit <d/2xai/a’; je dis que le produit est car

soient a , a-hi deux nombres commensurables qui comprennent 1/2; (3, ft+i‘ deux autres nombres commensurables qui comprennent l/3 ; i, i' étant infiniment petits. Il est prouvé que àC* est compris entre a* et a“+l , que a/z l’est entre a P et aF**'; donc aV^Xày* l’est entre et Mais 1^2 — {— |/ 3

étant compris entre’ a + f3 et c+jî+i+i', il s’ensuit que

rtv/çH-K3 est ausgj entre „*+/} et . £jonc (yifx aX /jf