livre ni

et d/V+v'X sont deux nombres invariables compris entre ces limites, dont la différence est infiniment petite, puisque celle des

exposants a-h/ 9, a + /3+i + i' l’est; donc rtl 2'x«l ^ct sont égaux.

2° Soient ni , n deux nombres incommensurables : on a am X fl" = «m+" ;

donc am+° : <ï“—a", c’est-à-dire que am-*-a : am

3° S’il s’agit, par exemple, de («l ^)1^, on prouvera facilement que le résultat est «'

4° Enfin on prouvera aussi que c étant entier positif, on a

./ Vj

V n> ? — a e , etc.

PROPOSITION XXVII. — PROBLÈME

Reconnaître si dans l'équation a* = b , x est commenturable , a et b tétant. *

1° a et b sont entiers, x sera positif ; car si x varie de — oo à 0 , variera de 0 à 1 et ne deviendra pas égal à 6; mais si x varie de 0 à + oc , ax varie de 1 à -+- oc , et il y aura une valeur de x qui le rendra égal à b.

Pour que a: soit commensurablc , il faut qu’il existe un nombre — , met» étant entiers positifs, tel que l’on ait

a" — b, ou am — b". (1)

Mais si m,n, a, b sont entiers, a”, b" le sont; soient r, s.... les facteurs premiers de a, et soit a — 3 .... ; il faudra que

r, s , etc., divisent bu et par suite b; soit donc b = r*' s*‘

et l’équation (1) devient

rmttsmP . . . = r"<* ' . . .

Or, un produit ne peut se décomposer en facteurs premiers

Air.kBRu.

que (l’une manière ; donc

d’où

am — a 'n ,

fini— fl ’n , elc.

Ainsi il faut que —■='— = etc. , c’est-à-dire que a et 6 ada fl

mettent les mêmes facteurs premiers et que l’exposant d’un facteur premier de b , divisé par l’exposant de ce même facteur dans a, donne un quotient invariable par rapport à tous ces facteurs.

Ces conditions sont suffisantes pour que x soit commensurable. En effet soit

et

a' /î' a fl

je dis que l’équation a' — b sera satisfaite par

Car l’équation a'=b se met sous la forme r*’/’ ... =r* s& ...,

et faire x — — =z‘— = etc. , revient à faire ax~a‘ , flx—(l‘... a fl

ce qui transforme l’équation précédente enr1* ... = r* sâ ... c’est-à-dire en une identité.

2° a est entier et b fractionnaire. Soit [>=-^>1. La valeur

de x doit encore être positive ; posons encore x , on aura

Mais am est entier, et pour que ^ le soit, il faut que ^ ou 6 le

soit, ce qui nous ramène au premier cas.

LIVnK III.

S« A = - 1 , x iic saurait être positif. Car x variant de 0 à

+ 00 > a' varie de 1 à -f- ao , et ne devient pas égal à Posons

x— ,• d vient

dou «- = (+-• (2)

Celte égalité exige que - soit entier; si donc -.est irréductible, c d

il faut que csoit égal à l’unité; l’égalité (2) se réduit à am—d", et exige que a et d remplissent les mêmes conditions que a et b dans le premier cas.

3° a et b sont fractionnaires; soit a=-, 6 = -, ces deux ' / « fractions étant irréductibles; si a et b sont tous deux 1 , ou tous deux 1 , x sera 0. Car dans le premier cas a' varie de 1 à +oo , et dans le second de 1 à 0 , si x varie de 0 à +oo .

Dans chacun de ces cas on posera x — — , ce qui donne

Chacune de ces fractions est irréductible; donc il faut que em=g" et /“=/»"; ainsi e et g d’un côté, /et A de l’autre, doivent satisfaire aux mêmes conditions que a et 6 dans le premier cas ; déplus, il faut que le rapport des exposants des facteurs premiers de g et e soit le même que pour ceux des facteurs premiers de h et/.

Si a^> 1 et 6 <1, ou réciproquement, .r sera négatif, et on posera x — — ce qui donne

et conduit à des conséquences analogues.

Remarque. Si a est un nombre entier dont les facteurs premiers sont tous à la première puissance, pour que x soit commensurable, il faut que b soit une puissance entière, positive ou

ALGÏBRR.

iga

négalive de a. Car Si b 1 , soit toujours b — r * a—rs..„;

et fl'

puisque a — /9z=e tc.=l , les conditions — = — =sc réduisent à

a — fl = ....; et b prend la forme r*' s*-1 ....= («....)* = a**

Si b <^1 , il faut qu’il soit de la forme^, et 6'doitencore être

une puissance entière de a, ainsi b est dans ce cas une puissance entière négalive de a.

Corollaire. Lorsqu’on a reconnu que x est commensurable, on en a en même temps trouvé la valeur; car on a vu que — ou

x est égal a — ou — ... .

Remarque. On a vu que si a et 5 sont tous deux 1 ou tous, deux 1 , x est positif; que si l’un est^> I et l’autre <^1 , x est négatif.

PROPOSITION XXVIII. — PROBLÈME

Résoudre l'équation a'— b.

On cherchera d’abord si x doit être commensurable, et dans ce cas on en trouvera aussi la valeur. Si x ne doit pas être commensurable, on commencera par ramener l’équation au cas où a et b sont tous deux^> 1. A cet effet, si a^>l et 6<^1,on pose

b‘ sera^>i, et l’équation devient «'=:p; on fera x= — x , et elle devient a"~b‘, où a et b‘ sont 1.

Si a<^l et 1 , on pose axz^-,x— — x',et l’onafl'"'= b.

Enfin si a et b<C 1 , on fait a— — , et l’on a a1'— b1.

Pour montrer comment on calcule la valeur approchée de x, soit l’équation 4* = -f 0 (1).

Le nombre 40 renfermant le facteur premier 6 qui ne se trouve pas dans 4, a: est incommensurable. Faisant x=0 , on a 4°=1 ;