LIVRE III

On cherchera de même deux nombres entiers n,, n, +1 qui comprennent/; posant /=n, -) — — , on aura une nouvelle équalion qui servira à déterminer/, , etc. ; x se trouvera ainsi développé en une fraction continue a: = »-)- — — , et pourra

par conséquent, être calculé avec tel degré d’approximation qu’on voudra (p. 22).

Ex. 1". 8’ = 32. Remarquez que 8 et 32 ne renferment qu’un

seul facteur premier, qui est 2; 32 = 23, 8 = 23; doncx=

Ex. 2. 27’ = -i-; x est négatif, commensurable et égal à

Ex. 3. ( -j — — ; 8 et 4 n’ont qu’un seul et même facteur

premier; le rapport des exposants est - ; il en est de même de

27 et 9; donc x— - •

Définition 7. On appelle logarithme d’un nombre b dans le Système dont la base est a, l’exposant de la puissance à laquelle il faut élever a, pour reproduire b; le logarithme de b est donc la valeur de x dans l’équation de a'— b. Pourvu que a soit différent de 1 , l’équation a*=6 admet toujours une valeur réelle de x, laquelle peut être calculée avec tel degré d’approximation qu’on veut. 11 s’ensuit que tout nombre absolu b, a un loga-

rithme réel dans le système dont la base est a ^ 1 .

Si a 1 , on a vu que dans «’ = b , x est 0 si b 1 et x^> 0 si b )> 1. Ainsi dans le cas où la base est )> 1 , les loga-

ALGEBRE.

rilbmes des nombres absolus moindres que 1 , sont négatifs et ceux des nombres absolus plus grands que 1 , sont positifs. C’est l’inverse si a 1.

Dans tous les cas le logarithme de 1 est 0 , et celui de la base est 1 ; car l’équation <i* = l donne x=0, et ax=za donne xxz 1.

PROPOSITION XXIX. — THÉORÈME

Le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes de ses facteurs ; le logarithme d’ un quotient est égal au loga ■» rithmc du dividende moins le logarithme du diviseur; le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au produit de l’exposant par le logarithme du nombre.

Soient b , b', b". . . . plusieurs nombres; x , x‘, x“. . . leurs logarithmes , a la base.

D’après la définition , on a

b — ax,b'~ax,b‘t~ax'

” 1“ Multipliant ces équations membre à membre, on a bb'b'< . . . . = • • • . •

Ainsi le logarithme du produit bb'b",., . . est x-\- x‘-\-x“..., •somme des logarithmes des facteurs, ce qu’on écrit ainsi : log. b1)b“....=.x-\-x‘-\-x“ = Iog. fi + log.A'-f-log. b" -J-

2° Divisant b— a' par b‘—ax', on a — zzax— * •

Donc le logarithme de ~ est x —x‘;ou log.^rrlog.è— log.f»'

et le logarithme du quotient est égal à celui du dividende, moins celui du diviseur.

3° Élevant à la puissance m tes deux membres de lequalion b — ax, on a bm = am\

Dans le logarithme de bm est nix ou m. log. b.