LIVRE III

Si m est un nombre comme — itm‘ étant entier positif, on a

bm — ^—V'b.

Donc log. 6m ou log. V b — — log. b;

c’est-à-dire que le logarithme d’une racine d’un nombre est égal au logariLbme de ce nombre, divisé par l’indice de cette racine.

Corollaire . Il s’ensuit que si l’on connaissait, les logarithmes des nombres et réciproquement , les propriétés précédentes-changcraient: 1° les multiplications en additions; 2° les divisions en soustractions; 3° l’élévation à la puissance m en une multiplication par m; 4° l’extraction d’une racine m en une division par m. A cet effet on a calculé les logarithmes des nombres entiers depuis 1 jusqu’à une certaine limite, ce qui forme une table de logarithmes. La table de Callet va jusqu’à 108000; les logarithmes y sont calculés avec 7 décimales, et la base du système est 10; ce système s’appelle le système vulgaire ; comme 10 ne renferme ses facteurs premiers 2 et S qu’à la première puissance , les seuls nombres commensurables qui aient des logarithmes vulgaires commensurables sont les puissances entières , positives ou négatives, de 10 (p. 27, r. 2).

Remarque. Pour avoir le logarithme vulgaire d’un nombre b , il suffit donc de résoudre l’équatibn 10'=i. Mais s’il s’agit de former une table, il ne sera pas nécessaire de calculer directement les logarithmes de tous les nombres entiers qu’on veut comprendre dans celte table: il suffira de déterminer ceux des nombres premiers. Car si un nombre se décompose en a“bic1’..., le logarithme de ce nombre est égal à

log. a* -f- log. b3 -f- log. cy .... ou a log. a-f-/? log. b-\-y log. c... , par conséquent au moyen des logarithmes de a, b , c ,...., on aura celui de ce nombre.

Supposons qu’il s’agisse d’avoir les logarithmes des nombres entiers depuis 1 à 108000 avec 7 bonnes décimales, ou à moins

de Il ne suffira pas de calculer ceux des nombres premiers

ALGEBRE.

à moins de 5 X (0,1)8; car les erreurs dont ces logarithmes sont affectés se trouveront multipliées par leurs exposants, puis ajoutées , et pourraient influer sur les derniers chiffres. Or, il est évident que l’erreur la plus forte est à craindre dans le logarithme du -nombre qui a le plus de facteurs premiers, et dont par conséquent les facteurs premiers sont les plus petits, c’est-à-dire sont égaux à 2; ainsi ce nombre est la plus forte puissance de 2 comprise dans la table; c’est 2'1’ ou 65596. Soit a l’erreur commise sur log. 2, celle qui affectera 2,a sera 16a, et pour

quelle soit moindre que — ■ , il faut que a soit con'

dition qui sera remplie si l’on prend a (0,1)9.

Supposons, pour fixer les idées, que log. 2 ait été calculé en moins et que les trois derniers chiffres de 16 log. 2 soient 592;

ainsi 16 log. 2 = .,,.. . 592-f-16aet 16a<^T7 ; si l’on négligeait

les chifîres 92. Cette erreur ajoutée à 16a qu’on néglige aussi

pourrait donner une erreur plus grande que

car

92+16 = 108. Pour parer à cet inconvénient on prend 16 log. 2 = .,. . .. 600 et il y aura deux erreurs, l’une négative.

-8 16 égale à l’autre positive 16a \ jivî» l’erreur egt donc

— - ce qui montre qu’on ne sait si elle est positive ou

négative; par conséquent et vu que dans les tables de Callet rien n’indique en effet si l’erreur est positive ou négative, on pourra prendre 16 log.2 = . , .... 6. Si les deux derniers chiffres du produit 16 log. 2 forment 50, ou plus, on raisonnera toujours de même, et l’erreur sera moindre que 5 unités du 8e ordre. Mais si ces chiffres sont moins que 50 et plus que 33, soit 1 6 log. 2=.,.... 742+16a; ici on ne sait si 42+16a fait plus ou moins que

^ unité du 7 e ordre; mais on sera certain que...... 700 sera

exact à moins de ~~ en moins. Que si l’on veut pousser l’cxac- 10"