LIVRE PREMIER

Remarque 4. La proposition 9 étant également vraie si les coefficients de la lettre d’ordre sont des polynômes, il s’ensuit que la règle de la division subsiste encore dans ce cas. C’est ce qui se vérifie sur l’exemple ci-contre; on y a réuni en un terme polynôme tous les monômes affectés de la même puissance de la lettre d’ordre x; pour la facilité des calculs on place devant chaque parenthèse le signe -4- , ce qu’on peut faire, en donnant des signes convenables aux termes entre les parenthèses.

On divise x 4 par x, et a3 — b3 par a2-(-nb-f-62, et l’on a au quotient x3 (a — b). On multiplie ce terme par le diviseur ainsi qu’il suit: x par x3 donne x*, a2-f-aM-f<2 par a — donne a3 — b3 qu’on change de signe par soustraction, ce qui donnea?4( — «3— )— î>3) et détruit le premier terme du dividende; le môme terme x3(a — 6) multiplié par le second' terme — a3-(-fe3 du diviseur, donne, après changement .des signes du coefficient, «^(a4 — a3b — «63— f— fo* ); pour réduire cela avec le terme en a;3 au dividende, on réduit seulement les coefficients de x3, c’est-à-dire les polynômes en a et b ; il vient au premier terme du reste .r3(fl4-t-a262-f-64) ; les termes du dividende, à partir de :r2(etc.), font partie de ce reste; pour abréger, on ne les descend pas. L’opération se continue de même.

Remarque 5. Si l’on considère le produit de deux polynômes dans lesquels la lettre d’ordre n’est affectée que d’exposants négatifs, et qui sont . d’ailleurs ordonnés de manière que les valeurs absolues de ces exposants aillent en décroissant, Je premier terme du produit sera encore le produit des premiers termes des deux facteurs (p. 9). On pourra donc diviser ce produit par l’un des deux facteurs en suivant la règle donnée ci-dessus, et l’on trouvera au premier rang, dans chaque reste, le terme qu’il faut diviser par le premier terme du

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ALGÈBRE

diviseur pour obtenir un terme du quotient. On peut aussi ordonner par rapport aux valeurs absolues croissantes des exposants. Si les polynômes contiennent la lettre d’ordre avec des exposants, les uns positifs, les autres négatifs, il faut s’appuyer sur la

PROPOSITION XIX. — THÉORÈME

Dans la division des polynômes où la lettre d’ordre est affectée d’exposants, les uns positifs , les autres négatifs, il faut ordonner de façon (pie les exposants positifs aillent en décroissant et placer à la suite les termes à exposants négatifs croissants en valeur absolue, ou bien il faut ordonner en sens inverse; et l’on trouvera dans chaque reste , au premier rang , un terme qui sera le produit du premier terme du diviseur par un terme du quotient. (S’il y a un terme qui ne renferme pas la lettre d’ordre, on le supposera affecté de cette lettre avec l’exposant zéro et on le placera immédiatement à la suite du dernier terme à exposant positif dans le premier cas, et immédiatement avant ce terme, dans le second cas.) •

Pour démontrer cette proposition , considérons le produit de deux polynômes. Il y a deux cas : ou les premiers termes sont affectés d’exposants négatifs tous les deux, ou l’un a un exposant positif et l’autre un exposant négatif.

Dans le premier cas soient les polynômes

Aæ — |— \^x -j-\^x -j— etc.

Ba; -(-B^a;

Le produit des premiers termes est ABa; , et ce terme ne se réduira avec aucun terme des produits partiels, parce que tous les autres termes renfermeront x avec des exposants dont les valeurs absolues seront plus grandes que celle de — m — n.

Dans le second cas soient Aa;m+Aia;m— *-|-A2.xm-2-f- . . .

et Ba? — {— B^a? — |— ...

Le produit des premiers termes est ABa?m— ". Or, si m — n est