LIVRE PREMIER

positif, les autres termes des produits partiels renfermeront x , soit avec des exposants positifs moindres, soit avec des exposants négatifs. Si m — n est nul, tous les autres exposants seront négatifs. Enfin , si m — n est négatif, tous les autres exposants seront négatifs, et, en valeur absolue, plus grands que m — n. Même raisonnement pour le dernier terme.

Donc , dans tous les cas où l’on aura ordonné comme nous l’avons prescrit, le premier terme du produit sera le produit des premiers termes des facteurs.

Cela posé, prenons le produit pour dividende et supposons qu’on le divise par l’un des facteurs : si le premier terme du dividende a un exposant positif, il résulte de ce qui précède qu’en le divisant par le premier terme du diviseur, on aura un terme du quotient, quels que soient les signes des exposants de ces termes ; il en sera ainsi tant que les dividendes partiels renfermeront x avec des exposants positifs. Admettons que l’on soit arrivé à un reste qui ne renferme x qu’avec l’exposant zéro et avec des exposants négatifs : ce sera le terme où se trouve x°, qui sera le produit du premier terme du diviseur par un terme du quotient ; enfin , si un reste ne contient que des puissances négatives de x , parmi ces termes , c’est celui où l’exposant de x a la plus petite valeur absolue, qui sera le produit du premier terme du diviseur par un terme du quotient. Dans chacun de ces cas, le terme qu’il faudra diviser, se présentera au premier rang dans le dividende partiel correspondant , et il s’y présentera parce que les exposants positifs vont en décroissant , et les exposants négatifs en croissant de valeur absolue.

Remarque 1. Pour abréger l’énoncé de la prop. 19, on est convenu de dire dans la théorie des exposants que les symboles négatifs sont plus petits que zéro, et d’autant plus petits que leur valeur absolue est plus grande, parce qu’en effet on les traite, quant au rang des termes, comme s’il en était ainsi. Ainsi — 3 est traité comme s’il était moindre que — 1 , et tous les deux sont traités comme s’ils étaient plus petits que zéro, ce qui forme un langage de convention, qui évidemment n’exprime point un fait, puisqu’il est impossible de trouver quelque chose qui soit moindre que rien. Cette locution de convention tend au même but que l’extension qu’on a donnée au sens des mots ajouter, sous-

traire (pr. 14, etc.). Ce but est de simplifier les énoncés, de généraliser. Aussi l’énoncé de la pr. 19 peut maintenant se ramener au suivant : Dans la division, il faut ordonner, par rapport aux exposants croissants ou décroissants , d’une lettre quelconque.

Remarque 2. Si le dividende et le diviseur sont entiers par rapport aux lettres et aux coefficients et que le quotient doive letre, on reconnaît que la division est impossible , dès que l’on est conduit à mettre au quotient un terme fractionnaire. Dans le cas où le dividende et le diviseur , ordonnés par rapport à une lettre, contiennent cette lettre avec des exposants positifs ou négatifs, et avec des coefficients quelconques, monômes ou polynômes, entiers ou fractionnaires : dans ce cas, disons -nous, il peut se faire que le dividende soit le produit du diviseur par un polynôme de môme forme. On peut donc diviser l’un de ces polynômes par l’autre, et si le quotient ne peut être représenté par un nombre fini de termes tels que ceux qui forment le dividende et le diviseur, on dit que la division est impossible.

proposition xx. — T h î: or i: mi:.

Soient a et fi les plus petits exposants respectifs de la lettre d’ordre dans le dividende et le diviseur, ordonnés suivant les puissances décroissantes de cette lettre ; si l’opération conduit à un terme du quotient , dans lequel terme l’exposant de celle . lettre est moindre que a — fi, la division est impossible.

En effet, soit Ma;* le dernier terme du dividende, Px® le dernier .terme du diviseur; d’après les prop. 9 et 19, le dernier M * — /3

terme du quotient est —a;

si toutefois la division est pos-

sible. Donc ce quotient ne saurait contenir x avec un exposant moindre que a — fi ; or, s’il se présente au quotient un terme où l’exposant de x est moindre que a — fi, dans les termes suivants, les exposants seront de plus en plus petits, et quel que soit le terme auquel on suppose que ce quotient puisse s’arrêter, ce

. M a — 3 terme ne serait pas —.r

Donc le quotient ne s’arrêtera pas.