LIVRE III

Soi

Celte inégalité est prouvée pour z — 1 ; or, je dis que si elle est vraie pour z~m, elle l’est pour z = wi+1. En effet on a

mais £±^±! — i| L <^l0^p

p-\-m p-hm ^ p ^ ’

vu que p est entier.

D’ailleurs par hypothèse c’est-à-dire 1+ - < 10^,

puisqu’on suppose la relation (1) vraie pour z=zm;

donc 1-| <10’"x10’p = 10~.

Donc la relation (1) est vraie pour z = m-f-l , si elle l’est pour z — m. Mais elle est prouvée si z — 1; donc, etc.

Enfin, soit u un nombre incommensurable, je dis qu’on a encore

Car soit u | a un nombre commensurable qui diffère infiniment peu de u; on a

Or — ■ — diffère infiniment peu de u ; KH"-*-*) diffère infiniu-\-a r

ment peu de 10™ (p. 25) t la dernière inégalité revient donc à

l+-<10 “H- un infiniment petit.

Or, on ne saurait avoir 1+ - = 10’“. Car si on fait u—]/ 2r

ALGÈBRE

on aurait

ce qui est faux; car V' 2 est compris entre 1,414 et 1,415; dans

le premier membre est <^1,708; d’un autre côté — 0,35,

et 10".3;;^> 10“.% ou 10* ou l/lO; mais ^10 3,16 et

l/%16> 1,77. Donc, etc.

Corollaire. Si 10', log. (n+1) — log. n qui est <\=- , sera

/ •' mTI

2Ô5ÔÔ °U (lue > de sorte que les logarithmes des nom-

bres entiers supérieurs à 10000, différeront de moins que 0,00005, et il y en aura chaque fois un certain nombre qui auront les quatre premières décimales communes.

PROPOSITION XXXI. — THÉORÈME

Soient A, B, C trois nombres absolus croissants ; supposons donnés log. A et log. C; si l’on fait la proportion

C— A : B — A :: log. C — log. A : log. B — log. A,

rQ j

l’erreur sur log. B — logy A sera moindre que ( —

Posons C— A ^ kd, B— A = mô, k , m étant entiers , â une commune mesure entre C — A , B — A. Considérons la série des nombres

* A , A-f-$ , A-f-2<ÿ, •• • A— f -mô , < . . A— j —kô

soient leurs logarithmes respectifs

l > l-hsJ , , f-Hz/, , . • . l-\-/Jm , l~h^/k.

Représentons trois termes consécutifs quelconques de la première série par n , n- \-â, n-f-2(5’; leurs logarithmes par / -f d.