LIVRE III

l , de sorte que

l~+-d =l°g' n> f+ z/" = log. (n+-tf) , l-hJ'"= log. («4-2d) de là les différences

ra-j-2d

fi— f-d

= log. (n+2d) — log. (n-f-d) = log.

■à" — J‘— log. n-f-d) — log. n — log.

Ensuite la différence des différences, ou différence seconde

J" = log. ^ - log.

~ °S'n(n-f-2d) “ l0g 0+ n’-f-2nd)‘

ü’aprés p. 30, cela est <- d et à fortiori '

2(n’-f-2nd) J ^2n’

Ainsi dans notre série toutes les différences secondes des logarithmes sont <T — .

Nommons à,, a,... ces différences secondes; leur forme générale est 0u

Ainsi pour les trois premiers termes, où J' = 0,

on a 2//, — di — a,

puis 2^/» — /jt — /j) — ch

> 2 J 3— J, — J/t = ai

etc.

Ajoutant, on trouve

3o4 ILCÎiBllK.

//k 4 -d * — Cti+Cfa+Ct3+ • • • +<*t— , >

* d’où Ji= Jk-, + — a,—a^—a3— ... — ak,— ak,

par suite z/k, = Jk-,~(~^'~a'~cl,~<X3~ ••• “ '“t— »

z/3 — z/a+z/ i Cti Ct,

z/ , “ z/ I — et, - Ajoutant depuis z/k , on aura z/k^/fz/, — (k — 1)ot> — (k — 2)cca — ••• — 2ct)( — a ak — ,,

Or, et, sont toutes moindres que donc *a somme

( k — 1 )ce,-+-(A' — 2)aa+ ... +2ak-,+«k— ,

ou que ^

*(*-1) /fr’d’ (C-A)* < TTï ou *lue 4^

Représentons cette somme par /9, de sorte que

On aura de même

Jm=mJ,—y,

y étant — (rn — l)ct,+(m — 2)cta+ ... +2a„ — a+ctm— , Jm mj,—y m mfi—ky

Tk ~ h J, -p ~ k + k{kJ.—0)

Donc

Le dernier terme est plus petit que la plus grande des quantités

m/3 ky y k J y k. Jk Jv