LIVRE III
5og
et q—d< ^ -
Ainsi soit X, le module de X, l’erreur, c’est-à-dire la différence entre q et d, ne surpassera jamais en valeur absolue
Ici les deux termes de la fraction
+■ Xi.
sont des unités du
septième ordre décimal , À., est une fraction d’unité simple. On a
vu que # , ou en unités du septième ordre, <C[ la
limite de l’erreur est 1- X,.
AOJ
Par conséquent si l’on veut avoir le nombre n + d à moins de
-î— , il suffira de calculer — à moins de - -î— , ce qui donne lOz J 2 lOz
pourvu que soit aussi < — ; car
1>oor que ib soit < ? î5 ■ a f*ut ^ êb soit < rô
Donc enfin la mesure de l’approximation est — = .
X, est plus petit que la moitié de cette expression.
Or, J ne tombeau-dessous de 105 * que pour les nombres supérieurs à 40000; jusque-là donc la mesure de l’approximation
est 100x105 ~ Ï0Ô' ^msi cn ca'culant à moins de — cen-
* Voyez leu labiés.
3io
ALGEBRE.
tième près, on aura n + dà près; donc les nombres compris de 10000 à 40000 seront connus à Près.
De 40000 à 100000 , A descend jusqu’à 44 , ainsi ,
— — environ — .
20zf 20.44 40
En décimales on ne pourra compter que sur les dixièmes, en calculant - à i dixième près.
De 100000 à 108000, les tables de Callet fournissent les loga-
rithmes avec 8 décimales; alors les termes de la fraction —
sont des unités du huitième ordre; 9" devient
- — — ou de l’unité du huitième or- ^ 4.1 01" 400
dre, et l’on a pour mesure de 1 approximation^^ ; la plus
qui
est — - et on pourra compter sur les centièmes, en calcu-
petite valeur de A est 403; donc cette mesure est gÿgQQ
Al.,,
lant — a - centième près.
Il est vrai qu’il reste encore du doute sur le sens de l’approximation ; c’est pourquoi on va montrer par un exemple comment il faut opérer pour ne rien laisser d’incertain.
Soit à calculer x = (987 ,47 5)’ X ^0593^ x (0,04956)». On aura
log. oc log. 987,475+4 jlog. 769867— log. 8659384 J
+ 1 log. 0,04956.
• LIVRE Ui. 5 1 I
Pour avoir log. 987,475 on cherche celui de 987 47 ,5. Les tables donnent log. 98747=4,9945239; différence 44; or 44x0,5=22; ainsi £ = 0, et la limite de l’erreur sur ce logarithme sera
^ -+- — ou —de (0,1 ):. Ce logarithme est 4,9945201 ;
par suite
log. 987,475 = 2,9945261 à moins de de (0,1)'
et - log. 987, 475 = 7, 48631535àmoinsde — X « ouÇ-id.
£ jU a lu
On trouve
log. 769867 =5,8864157 à moins de ^ de (0,1) 7, car £-)-#'<( 2. (0,1)8.
log. 8659384 = 6,9374870
£ étant = 0.
La différence de ces logarithmes est
90 91 Pi
2,9489287 à + ~ ou -t dc(0,t)7 lu 4lr 4
le produit par 4 5,7957148 à 5 id.
Pour avoir le logarithme de 0,04956, on prend celui de 4956
qui est 3,6951313 à moins de ^ de (0,1)".
Ainsi " log. 0,04956=2,6951313.
Pour prendre^ de ce logarithme, on prend le 9° de 2, qui
est — 1, avec un reste + 7, le 9e de 76 est 8, etc.; .... de
sorte que - log. 0,04956= 1,85501458 à - de (0,l)s, plus •—
dc*(0,l)' ou a ^ de (0,1)*.
AI.CÎ-RRK.
On a donc
| log. 987,475 = 7,48631525 4 log. 769867- log. 8659384 = 5,7957148
î log. 0, 04956 y
log. X
Î6+ro + 9Ô “■
ou log. X
• id- +iô
ou enfln limite de l’erreur 7 X (0,1)7 .
Limite de Terreur
• g «Ml’
iô «■
Ainsi log. x> 3,1370439 <3,1370453.
Pour avoir les nombres on donne aux logarithmes la caractéristique 4, c’est-à-dire qu’on cherche lOx. Le logarithme tabulaire immédiatement inférieur au premier, est celui de 13710; la différence avec ce premier est 64, la différence tabulaire est
3*6; a.ns. y= = jj ; d ailleurs — < jjjjlil. ensu,., UC
si l’on prend X < ,a mesure de l’approximation sera
Or, à 0,001 près, — =0,203; donc à 0,0003 près, le nombre / y
correspondant est
13710,203 ou bien lOx > 13710,200.
Passons à la seconde limite de log. x, ou plutôt de log. lOx, la différence avec le logarithme tabulaire est 78 ; ici donc
A = Il = JL qui =0,247 à 0,001 près;
dont le nombre correspondant est
13710,247 qt 10* < 13710,250.
De là enfin
* > 1371,020 et * < 1371,025 De sorte que x est conpu à moins de 0,005 près.
PROPOSITION XXXI II. — PROBLÈME
Etant donné le logarithme d’un nombre b dans le système dont #i base est a , trouver celui du même -nombre dans le système dont la base est a'.
Soit x le logarithme de b dans le système dont la base est a, x' celui du même nombre b dans le second système : on a
b =aT, b — a'x‘ d’où ax = a,x'.
Prenant les logarithmes de part et d’autre, on a xIog.a=x'log.a';
supposons que ces logarithmes soient pris dans le système dont la base est a; il vient log. a— 1, et l’équation précédente donne
x=x'lo£r.a'd’oùx'=; — - — ,.x log. a
On calculera donc ; -, ce logarithme étant pris dans le
log. a'
système dont la base est a, et on le multiplie par x, ce qui donnera*' ; j — - — - se nomme le module de a‘ par rapport à a. Si
« = 10, a'=100, on a log. 100=2 et le module est ^ ou 0,5.
Donc la moitié du logarithme décimal d’un nombre forme lé logarithme centésimal du même nombre.
ALgIüIIE.
PROPOSITION XXXIV. — THÉORÈME
Les logarithmes peuvent être regardés comme faisant partie d’une progression arithmétique et les nombres correspondants ‘ comme étant des termes d’une progression géométrique , et réciproquement.
Car, si dans la relation b = a', on met pour x les nombres 0, r, 2/-, 3r, qui forment une progression arithmétique, les valeurs de b sont
a”, ar, a”, a3r,
et forment une progression géométrique.
Réciproquement si Ton a deux progressions, l’une arithmétique commençant par zéro, l’autre géométrique commençant par 1 , chaque terme de la première sera le logarithme du terme de même rang dans la seconde. Car soient les deux progressions
-r - O.r. 2r. 3 r. . . . nr
